Considérons maintenant les diiréientielles de la forme
Si l'on pose sin x = z^ d'où cosxdx = dz^ on obtient
2~(i — z') ^ eiz.
Elle rentre ainsi dans les différentielles Trinômes , et sera
intégrable lorsque sera entier, c'est-à-dire lorsque
m sera un nombre entier impair, ou lorsque n sera un nombre entier impair, ou lorsque ni-h n sera un nombre entier pair. On aurait pu poser cosx =^ -s, et la différentielle serait devenue
d'où Ton aurait tiré les mêmes conséquences.
336. Au lieu d'employer ces transformations , on peut traiter directement la différentielle proposée, au moyen de l'intégration par parties. On trouvera ainsi
.^r, , sin^+i rcos^-'x • n— i /•.
(il I sm^xcos^arilr — 1 I sin'"+» cos*-» xtfx.
Or
ysin '"■^' X ces ""•■' xdx = y (sin™ x ces ""' x)(i — cos * x) dx
z=fsin "• X cos "~* xdx — fsia " dx cos " xdx ;
substituant et réduisant, il vient
, . C' . sin"»+' j:cos«-'x n — \ C . .
(a) I sin"» X COS" xdx = 1 I sm*» jc cos"»— » xdx .
Donc, si n est positif, cette formule l'abaisse de deux unités , sans changer m \ excepté toutefois le cas où m -I- « = o, que nous examinerons plus lard.
DES LIMITES DE SOMmES. 4^1
En supposant que ce cas ne se présente pas jusqu'à la fin du calcul , et en continuant de diminuer Fcxposant de cos x, on le ramènera à o ou i s'il est entier.
337. En dirigeant autrement l'intégration par{parties, on abaissera successivement Tei^posantde sinx. En effet, on a
„. /*. . co»«+' a:8in"»-«x m — i /* . ^ ,
Or
fsln """* X cps""^' xdx =y (sin*-* x cos" x) ( i — sin ' ;r) cte
= ysin'^'arcos"jcrfx — J'sin'"xcos''x^j:.
Substituant dans la précédente, et réduisant, il vient
, , r . • sin"»-» X co9"+' X m — I /* ,
(4) I sin^x cos«xtfr= — 1 I sin^-^xcos'xdx.
^^' J m-hn m-hn J
Si donc on excepte encore le cas de m -f- n = o, on abaissera l'exposant de sin a: d'un nombre pair quelconque , et, s'il est entier, on parviendra à le réduire à zéro ou à l'unité sans que l'exposant de cos j; ait changé. S'ils sont tous deux entiers, on les réduira successivement Fun et l'autre, autant que possible, sans les rendre négatifs, et il restera à intégrer une des expressions suivantes :
ftlxy fcosxdXf fsinxdXf fsinx cosxfix,
que nous considérerons tout à l'heure.
338. Supposons maintenant que m étant positif, n soit négatif et remplacé par — /i ; la formule (a) donnera
/'sin"x sin'"'^'x ' /i H- i Tsin^o:
€OS"x (m — /?)cos"'^'x m — n J co%^-^^x
L'exposant des cosx se trouvant élevé de deux unités, on tirera la valeur de l'intégrale qui est dans le second mem-
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bre, et Ton trouvera , en cliangeant n^ 2 en w,
— cfj: = 7 ^ rr--^ / dJ^'
vo%''x [n — 1) cos""''^ n — 1 J cos"~'a:
Celle formule ne peut être appliquée dans le cas àen = i. Si en même temps m est entier, on l'abaissera au moyen de la formule (4)? ^^ l'^^^ parviendra à
/'sin X , r t/x ax, ou I 5 cosor J cosx
expressions que nous intégrerons tout à l'heure.
339, Si , au contraire , n est positif et m négatif, remplaçons-le par — m dans la formule (4), elle devient
/cos^j? , cos^+'x m -j- i /•cos"x , -; ax = — — }~ • I -. ■ ax.
sin*" X [m — n) sin *""•"' x m — nj sm "*"•"' x
L'exposant de sin x étant augmenté de deux unités, on tirera la valeur de l'inlégralc du second membre, et l'on aura, en remplaçant m -f- 2 par /w,
.n. Tcos^x . cos"'*"*x m — n — 2 /'cos"x ,
(6) \- dx=Z, r— ; 1 f . —dX.
^ ' J sm^x [m — i)sin'"^'x m — 1 J sm'"~'x
Cette formule ne peut être appliquée si m = 1 ; mais alors, en abaissant l'exposant de cosa:, on arrivera, s'il est en-
/COS'X C* dx
-r — dx^ on j -
smx
340. Supposons enfin que m et n soient négatifs tous les deux , et remplaçons-les par — m et — n. La formule (2) deviendra
/dx --J n -4- I r àx
sin"'x cos"* (/ii-hrt)sin'*'-' xcos""*"' x ni -h n J sin"»xcos"+*jr
OU, en tirant la valeur de la seconde intégrale, el chan-
géant « -H 2 en k,
. , /* <ir I lyiH-n-^a /* dx
■ J sin^xcos"* (n— i)8in'*-*xcos''-'x m — i J sin'"xcos''-»x*
On tirera semblablement de la formule (4)
/* dx 1 m -h I /• dx
sîn^x cos" X {m 4-n) sin*+' x cos"-' x m-i-n J sin**-*-" xcos" x
Tirant de là la valeur de la dernière intégrale , et remplaçant m -+- 2 par //i, il vient
/• dx --i m-hn — a r dx sin«xcos"x (m— i)sin'»-*xcos"'-«x m — i J sin"»-*xc
Au moyen des formules (7) et (8) on diminuera du plus grand nombre pair possible les exposants de sin x et coso:. Il n'y aura d'exception que pour le cas de m = i ou 71 = I, et alors on parvient, en supposant m et n entiers, à l'une des expressions suivantes :
J smx J cosx J SI
sm X cos X
341 . En réunissant les cas particuliers auxquels on est conduit par l'application de ces procédés, on voit que l'on est toujours ramené, quand les exposants sont entiers, à effectuer l'une des intégrations suivantes :
/dx, Icosdx. isinxdx, I sinxcosxdx, 1 dx, I — dx, ' J ' J J ' J cosx J 8inx
/' dx r dx r dx /*sin"'x T^^^'^j
sin X cos X ' J sitix J cos x ' J cos" x ' J sin*» x
Les six premières s'obtiennent immédiatement , et ont pour valeurs respectives
J'dx z=x ■+■ C, fcosdx = sin x -f- C,
/r , sin'^ sïnxdx = — cos a: + C, I sin x cos ay/j? = h C.
Dans les deux suivantes le numérateur est la différentielle du dénominateur, abstraction faite du signe. Donc
/sïnxdx , ^ rcosxdx , . ^ -= — Icosx-hC, 1 — : = lsmar + C.
cosx J sm X
On intésTera la suivante -, en divisant ses deux ^
termes par cos*j:^ elle devient alors
/^ dx
I —. = I ^=lrangjr4-C.
f smx J tango:
^ coso:
La suivante -T-*- s'intécrera en divisant ses deux termes smor ^
If* , X X
par cos*{a:, après avoir remplacé %\jix par 2 sm - cos-; elle devient alors
rf. tang-
2 = ltangf-f-C.
tang-
cos-
à cette dernière , en ob-
