Il ne reste plus à intégrer que les deux exprès

sin"x , cos".r , . i> i

sions — -" (Ix et . „ ■ dx , qui rentrent 1 une dans cos"x sin'or ^

l'autre par le changement de x en x.

Or la formule (i) devient, en supposant n négatif et ^al à — /n,

/tang'^'x C rang" jr//a? = — -2 f tang'"^' j-rfr,

et Ton en tirera , en remplaçant iw -f- 2 par m,

/^ , lang'«-'jr C tang* jrdlr = — 2 1 tang'^-'xrfx.

En continuant à abaisser l'exposant de deux unités , on parviendra à fdx^ ou/ tangx^fe, qui a été déterminée précédemment , puisqu'elle n'est autre chose que I dx.

On aurait trouvé de même

/cot^-'x r , ^ cet"* j:ax = f cof^-'xao?.

Cette formule ramènera, soit à /^x, soit à y cotxrfr, qui a été déjà déterminée, quand on a cherché l -: — dx,

343. En appliquant les principes précédents à la détermination des intégrales

I sin" xdxy j CCS ** xrixy j tang " xdx ,

/coi^xdxy l -^4~» f — T-'

J sm"jc J CCS/» a?

on trouve, i° en supposant n pair,

/'. , cosjff. n— ! . . 3.5...(n--3)(n— i) . ~l

/* , sinxT n— I , 3.5..,(n — 3)(n— i) "1

/' , tang"-'x tanff"-*x ' , ^ ^

tang" jcdx = — 2 !î — ^-. .t±3tangx=px-4-C, n — I n— J

cot" xrfx = 1 ^ . . .rt cotx =}= X -f- C,

/'. , sinxf . n — 2 . , 2.4 •.(« — 4) («-* 2) . 1 ^ sec'xilx = 1 sec»-' xH ^ 8ec"-'x-h. . .h ^ — \ Yr? ôt *ecx I -hC , n i [ n~3 i.3...(/i--5)(« — 3) J

/' . co&ixf , «—2 . ' 2. 4... («—2) .1 cosec«xdx = i-lcosec»-«xH =cosec"-*x ■+-... n ^ — } r^cosecxl -+-C: n — IL n — 3 i.3...(rt— 3) J '

a^. En supposant n impair,

/cosxf. n— I . , 2.4...(n — 3)(n— 01

/. sinxl" n— I , 2.4...(.n — 3)(n— 01

n L n^-î i.3...(n-4)(rt— i2)J

/l - J tanff"-»x tang«-»x . tang*x , .

/' ^ . cat*-»x cot^-'x cot*x , , ^ .

cot"xd>= ^ -♦- -« -♦-...:*= qclsfnx-^C, n^i n — 3 ^^2^

/'.^ , sinxf. n— a , 3.5...(ii — 2) ,.1 sec»xrfx= - — - Iséc-'xH sée»-»xH -^ 7 7 r^sccVj «—« L »— 3 2.4.. .(n— .3} J

Itang

/,. , cosxf II— 2 3.5...rn— 2^ 1

coscc»x<tx = I cosec»-» x h cosec»-» x-i- ... h . ) ~ coséc' x \ n — IL n — 3 2. 4. ••(»« — 3) J

^ ^ ^ .' 1 tang - -+- C.