INTÉGRATION PAR SÉRIES

345. Lorsqu'on ne peut intégrer exactement une difrentielle F{x)cJx^ on peut se- proposer de développer son intégrale en séries; et pour cela on développera d'abord la fonction F (x). Soit donc

(i) F(x) = MoH- a,-f-Ma-h . . . 4-«„-h.. .,

et admettons que cette série soit convergente , sans quoi elle ne pourrait remplacer aucune fonction.

Soient 5„ la somme des termes jusqu'à tt„ inclusivement , et r„ le reste de la série, qui tend vers zéro à mesure que n augmente. On aura

Intégrons les deux membres de cette équation entre deux valeurs quelconques Xq et X , nous aurons

J/» X /» X pX

I ¥{x)dx= j Sndx-^-j rndx;

f Vndx tend aussi vers zéro -, donc

fX /tX /»X /»X

FXx)dx = Um j s^drzzz j u, dx -h f m, dlr -+-...,

ou , en remplaçant X par x , i

i ¥ [x)dxz=z l M« r/j: -h . . . ,

L'équation subsistera évidemment en prenant les intégrales indéfinies

fF{x)dx=futdx-^

346. Si la série (i) n était pas convergente, pour la limite X, on pourrait craindre que la formule (2) ne fût inexacte; mais nous allons voir qu'elle subsiste encore, pourvu qu'elle soit convergente. En effet, elle est démontrée pour toute valeur de x comprise entre x© et X ^ c'està-dire que l'on a pour ces valeurs

f Y{x)dxz=il Uoda:-^..-^! Undx -^

Or la limite de la somme des termes du second membre est une fonction déterminée de x, puisque la série des int^rales est supposée convergente, même pour la valeur X. Si donc on fait tendre x vers X, les deux membres de Téquâtion tendront cbacun vers une limite, et ces limites ne peuvent être inégales. Donc

I F{x)dxz= j a^rfx -H I a, rfx-f-....

La même démonstration se ferait pour la limite ^Xo^ et même pour toute valeur intermédiaire, pour laquelle la série (i) cesserait d'être convergente , sans que la série des intégrales cessât de l'être.

347. La fonction F (x) peut quelquefois être développée de bien des manières différentes en séries convergentes : on choisira celle qui conviendra le mieux à la question. Si on la développe suivant la formule de Ma^claurin , on aura

F(:t) = F(o)-HF'(o)x + F"(o) — -h...4-F'"(o)— f^^:^....

470 LiVMi; Ht.

et , par suite,

(3) /V(x)rfx==C-+-F{o)x-f.F'(o)^-hF''(o)^-^-+-...-hF-,^o)j

jpm+i

l.2...(nH-i)

Il est facile de reconnaître que ce second membre n'est autre chose que le développement de y F {x) dx^ d'après la formule de Maclaurin : C représente la valeur arbitraire de cette fonction pour a? = o.

Sî l'on veut connaître l'erreur commise en s'arrêtant

à un terme quelconque F"~' (o) j dans la sc-

rie (3), il suffira de multiplier -. 1 par la dérivée de Tordre (w-t-i) de la fonction /F (x) rfo:, en donnant k x dans cette dérivée une valeur Bx intermédiaire entre o et jr. C'est la règle connue dans le cas de la formule de Maclaurin, dont Téquation (3) est Tapplication à la fonction /F [x) dx. Si donc on désigne par A la plus grande valeur de F' (x) quand x passe de o à j:, l'erreur commise en s'arrètant au terme qui renferme x"

sera moindre que -, r-

348. On pourrait développer la fonction JY [x) dx par la formule de Bernoulli, qui donne pour unefouclion quelconque y^

j=rj,+ x— — — — + -j-^ ——...,

j^o étant la valeur de y correspondant à x = o. Si Ton

suppose

yz=zf¥{x)dx, et ro==C, on aura

(4) |fwjx=C4-xF(x)--^f'(x)-^^^f''W-....

On obtiendrait cette môme formule en intégrant par partics la ditîércntielle F [x) dx. En ellet, on aura succcssi-

vement :

/f (x)dx = «F (j?) — ixr (x)dx,

fxr(x)daf——r{fj^ Ç—Y"[x)dx,

Si, en continuant indéfiniment ces intégrations , la dei^ nière intégrale tend vers zéro , on aura , en faisant les substitutions et ajoutant la constante arbitraire,

F(x)rfx= C-+-xF(*) — — r (x) -f- -^ F"(x)-.. ^ ' ^ 1.2 ' I .a. 3 ^ ^

ce qui n'est autre chose que la formule (4).

349. Lorsque la fonction F (x) est le produit de plusieurs facteurs , on peut se borner à développer l'un d'eux en série, pourvu que les autres facteurs multipliés par les divers termes de cette série donnent des produits inlégrables.

Soit, par exemple, la différentielle

dx

slax — x^ sji — bx qui se rencontre dans le calcul du mouvement du pen-

dule. On peut développer (i — bx) ' si l'on suppose bx <! I , abstraction faîte des signes , et l'on aura

(1— bx)"^ = I -f--^x + i-^^'j:'-f- ^* \.^^xM

Substituant -ce développement dans la difieFentielle proposée , on aura à intégrer des termes de la forme • x^dx

^ax — .r'

expression que nous avons intégrée dans la théorie des dîffcrenli elles binômes.

47 3 Livmc III.

350. L'intégration par séries peut servir à faire connaître les développements des fonctions dont on sait développer les dérivées.

Ainsi , par exemple , la dérivée de arc sinx est . dont le développement est

donc

^ I or* 1 .3 jr* 1 .3.5-c'

arc sin X = C -h X -f- - -=■ H 7 -^ H 7-rz h

Mais il faut remarquer que leradical ayant été pris positivement , on suppose que Tare et le sinus varient dans le même sens. La formule ne s'applique donc pas aux arcs

compris entre- et ir, mais elle convient aux arcs com-

pris entre o et -h -> elle conviendrait de même aux arcs entre o et Elle doit, par conséquent 9 être satis&ite

ir — ï

quand on y fait x=: Oj et y par suite, C doit être nul*, on a donc