TT I I I

arc tang x = h t? = — •

^ 2 X ^x' Sx"

U faut remarquer que la première formule donne les arcs

positifs depuis o jusqu'à j seulement. La seconde ne con-

vient qu aux arcs compris entre cette limite e< - qui est la plus grande valeur du second membre.

474 LIVRR III.

Ces formules sont exactes pour jc = i , parce qu'elles restent convergentes, quoique les séries qui expriment la dérivée ne le soient plus ; eHes donnent alors

t: III

352. Cherchons encore de cette manière le développement de 1 (i 4- j:^) , dont la dérivée est • Si Ton

suppose j: <^ I , on a

=1 — j: -h x' — jr^ 4- . . . ;

donc

dx ^ x^ a^ x^

—— = C -hx 1 — 4-....

Le logarithme de l'unité étant zéro, il faut supposer C=o pour que la formule représente 1 (1 -f- x) , et Ton aura

Celte formule étant convergente pour j: = i , quoique la série qui exprime la dérivée ne le soit plus, elle ne cesse pas d'être exacte pour cette valeur particulière.

Si Ton supposait .t > i, et qu'on ordonnât le développement de par rapport aux puissances décroissantes

de X afin qu'il fût convergent, on ne trouverait plus 1 (i -h x), mais seulement 1 ( i -f- x) — la:, oui (i 4--) •

DKS LIMITES DK SOMMES. /\']5