PASSAGE DES INTÉGRALES INDÉFINIES AUX INTÉGRALES DÉFINIES
353. Nous avons démontré, dans le n° 304, que si la dérivée d^uije fonction quelconque F(x} est continue pour toutes les valeurs de la variable depuis x© jusqu'à x, la différence F (x) — F (x© ) est la limite de la somme des valeurs que prend F' (x) rfr, lorsque Ton fait passer la variable de Xq k x^ par degrés infiniment petits représentés par rfx ; d'où résulte la formule
(i) r'F'(:r)rfx = F(j:}~F(xo).
Ainsi, pour connaître l'intégrale définie de F* {x) dx entre des limites données , lorsque l'on connaît l'intégrale indéfinie, ou une fonction quelconque F (x) ayant pour dérivée F' (x), il suffit de substituer les limites de l'intégrale dans F (x) , et de retrancher le résultat relatif à la plus petite limite, de celui qui se rapporte à la plus grande.
Exemples :
r' ^ , f°^ , r"^ ^ X r"^ ' dx Tz
/» dx __» r' dx jT /•°° dx
I t— «* cos bxJx = — , / e-« '' siii h rdx = -
47^ LIVKE III..
îr
" (31 -+- i) (2 i ■+- 3 ). . .(a I H- 2ft -h i) '
^ ' co8^/x sini*x^ = «.3.5...(2/--i),.3.5...(2A>-0 ^ ^
rix'^''-*-'dx 2.4.6. ..>2A-
Ces dernières intégrales rentrent dans deux des précédenles en posant x = sîn ^ ^ d'où > — = dz.
L'intégrale indéfinie de -^ peut être déterminée
en décomposant en fractions simples l'expression -—;-jî dans laquelle on peut toujours supposer m<^n. D'après cela , si Ton fait = a, on obtiendra
= - IsinaTT ■+■ 8in3<z;r -h sin5fl7r -h. . .-+-sin (2/1 — i)ait\ — ^jjna- — 00*' " *-
On aura encore, 'en supposant que m et n soient des nombres entiers positifs , tels que nK^n^
^~' dx Tt
j -i- x" . miz
n $in — • /?
)y\ maintenant on pose j:" = ^ , — == a , cette équation devient I = -: , a ayant une valeur commen-
J 1 -f- « Sin ATT «^
surable quelconque comprise entre o et i, et pouvant avoir aussi , par conséquent , toute valeur incommensurable comprise entre les mêmes limites.
On trouvera encore , d'après une- formule précédemment démontrée , en supposant n > i ,
dx 1.3.5. ..(2« 3) TT
Il faut bien remarquer que la formule (i) ne subsisterait plus si la fonction F [x) devenait infinie entre les limites de l'intégration. Dans ce cas , la somme des éléments Y' [x) dx peut être infinie, ou indéterminée. Il faudra donc toujours s'assurer si F (x) ne devient pas infini dans cet intervalle , et c'est seulement lorsque cette circonstance ne se présentera pas , que l'on pourra dire que F (a:) — F (oTo) est la limite de la somme des éléments tels que F' [x) dx. Dans le cas contraire, on partage l'intégrale en deux autres ayant pour limite commune la valeur particulière de x ^ et l'on examine séparément cliacime d'elles.
