X-^^ dx —, Ja formule (i
donnera — ^-j- — ^— ^> expression qui est négative, tandis
que tous les éléments sont positifs. Mais— devenant infini pour a: = o , il faut s'assurer si l'intégrale ne le devient pas aussi. C'est ce qui arrive, en effet, et la formule (i) suppose que cette circonstance n'arrive pas. Dans le cas actuel, les deux intégrales partielle» sont
infinies de même signe ; par conséquent il n\ a pas indétermination, et Tinlégrale demandée est infinie.
— Si lesdeuxlimites
sont négatives , on a une somme d'éléments négatifs, qui seraient les mêmes, au signe près, que si l'on prenait ces limites positives. Ainsi Ton aura
— rz.\b — la = 1 — , X a
II n'y aurait de même aucune difficulté pour deux limites positives; mais si elles sont de; signes différents, l'intégrale Ix passant par Tinfini, la formule (i) n'est plus démontrée; et il y a cela de remarquable, que la somme des éléments est réellement indéterminée.
En effet, soit l'intégrale définie 1 — ; partageons-
la en deux autres, dont les limites soient — a — e^ pour la première et + çv + è pour la seconde; e étant une quantité qui tend vers zéro , et fx , v deux nombres constants arbitraires. La première intégrale aura pour valeur
1 — ? et la seconde 1 -r ; leur somme sera 1 - + 1 — Elle ne a à va
renfermera plus e, et, par conséquent, si l'on fait tendre
cette quantité vers zéro , on aura pour la somme des deux
/* dx — 5 la quantité indé-
terminée 1 — h 1 -? qui dépend du rapport arbitraire des intervalles infiniment décroissants ejjt, ev. Si on les suppose égaux , 1 - devient 1 1 ou zéro , et il reste 1 — C'est ce
que M. Cauchy appelle la valeur principale de l'intégrale indé^rminée.
354. Lorsque Ton applique l'intégration par parties à la transformation des intégrales définies, et qu'on donne les mêmes limites aux intégrales, il est facile de voir, en général , comment doit être déterminée la constante.
En effet , on a
ff{x)d^{x)=zf[œ)^[x)--f^{x)df{œ).
Si l'on veut que les intégrales soient prises entre le^ mêmes limita x^ el^^ on commencera par les prendre à partir de x^'^ mais alors il est nécessaire d^ajouter une constante arbitraire a l'un des membres, ce qui donné
■rf[x)d^{x)=.C^f[x)^[x)^(\[x)d:f[x).
Pour que cette équation ait lieu en faisante: = j:©, il faut que l'on ait C = — / (xo) <p { jTo) 9 et, par conséquent.
I 365. Si Ton renverse les limites d'une intégrale défi-
I nie, on ne fait que changer son signe-, car les accroisse-
ments de X changent de signe, et les valeurs absolues des éléments différentiels ne changent pas. On a donc
j F(.r) rfar=:— • I F{x)dx,
ce qui s'accorde avec l'expression de l'intégrale définie au moyen de la fonction o [x) dont la dérivée est F (.r). En effet, on a
J ¥(x)dx = ^(X)^^(x,), Ç" = 7(^,)-^(X),
expressions égales et de signes contraires.
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