On peut changer Tint^grale i F [x) dx dans la

suivante :

/ F(X-f-jc, — a?)flte,

dont les limites sont les mêmes. En eflèt, les éléments qui les composent l'une et Tautre sont les mêmes en ordre inverse. En partant de cette remarque, qui est quelquefois utile, on peut, par une suite d'intégrations par parties, obtenir très- simplement la série de Taylor, comme on va le voir.

357. Série de Taylor. — Soit F (j:) une fonction quelconque qui reste continue , ainsi que ses n premières dérivées, entre les limites x ex, x + h. On a évidemment

cl, diaprés ce qui vient d'être dit,

X est constant dans cette intégration, z seul varie.

Intégrant par parties cette dernière expression et celles qui s'en déduisent, il vient

= -F(x-+-A~r)H-— F" (x-hA -«)-+-... H ^ .F— «(jr-hfc-«)

I ^ ^ i.Q ^ ' i.a...(ii — i) ^

Si Ton prend les intégrales entre les limites o et /i, il

faudra faire successivement z z=i h^ z = o dans les termes en dehors du signe / , puis* retrancher le dernier résultat du premier, ce qui donnera

F''(a:-hA— «)d«.

Mais

donc

F(x-+-/0~F(a:)= r F' (x -+- A — z)rf»;

F«(x-^fc — «)<fc.

Lorsque le terme qui renferme l'intégrale définie tend vers zéro à mesure que n augmente, la série converge vers F (x -{- h)^ et devient celle que Taylor a fait connaître.

On peut donner une autre forme au terme qui exprime Terreur commise , en s' arrêtant au terme de rang n. En effet 5 l'intégrale définie est égale à la somme des facteurs z""^ dz^ multipliée par une valeur moyenne entre la plus petite et la plus grande de celles que prend F" (x -f- A — z) quand z passe de o à A ; et comme cette fonction est supposée continue dans cet intervalle, cette moyenne est l'une des valeurs que prend F" (x -f- A — z), pour une certaine valeur de z comprise entre o et A : d'où résulte aussi pour A — z une valeur comprise entre o et A , que nous représenterons par Oh, Le terme qui complète le développement devient donc

F^(^+^) r\„.^,, ou -i:-F"(x4-ô/o.

C'est sous cette forme que nous Favons préscutéedans le Calcul différentiel : 6 est une fonction inconnue de jr, et Ton sait seulement qu'elle a une valeur positive plus petite cjue l'unité.

En prenant la plus petite et la plus grande des valeurs de F" (x) dans l'intervalle de x kx -^ h, on aura deux limites entre lesquelles sera comprise Terreur commise en s'arrètant après le w'*'"* terme. L'intégrale définie donne la valeur exacte de cette erreur; mais elle présente la diflSculté de l'intégration , et l'on ne peut généralement se proposer que de la renfermer entre deux limites connues.

Differentiation et intégrationsous le signe J.

358. Nous avons fait connaître, au commencement de ce Cours, les règles pour différentier les fonctions explicites, ainsi que celles qui sont liées entre elles et avec la variable principale par des équations dont les deux membres sont des fonctions explicites. Nous allons considérer une autre espèce de fonction et donner le moyen de la différentier.

Soit la fonction i/ = I V [z^ x) dz que l'on se pro-

pose de différentier par rapport h x\ les limites z^^Tj'^ pouvant être des fonctions quelconques de x.

On aura, en considérant cette intégrale comme une fonction composée de ^o ? Z , x , qui sont toutes des fonctions de X ,

du /du\dzQ /^"\ ( du\

S~ \d^)d^'^\7m) "^ \di)'

Or on a d'abord

Quant au troisième terme -^, qui est relatif à la supposition de Zo et Z constants, il est la limite de

F(z,x^^à)dz-^ j F[z,x)dz ou de

et a pour valeur

Donc

^jf F(z,x)rf. = F(Z,x)g-F(..,x)g

On parviendrait très-simplement à la même formule, en considérant l'intégrale définie comme représentant l'aire d'une courbe.

Si les limites sont constantes, c'est-à-dire indépendantes de X, on a

dx

on voit qu'alors les deux opérations de différentiation et d'intégration peuvent se faire dans un ordre quelconque.

359. Si la fonction de x était une intégrale indéfinie par rapport à z, on la mettrait sous la forme

C étant une fonction quelconque de x : d'où

du r^dF{z,x) dC

dx J^ dx dx

On peut donc faire, dans. un ordre quelconque, les deux opérations sur F (2, a;), pourvu que les constantes relatives aux deux intégrations soient liées par la condition , que la seconde soit la dérivée de la première par rapport à x.