SÉPARATION DES VARIABLES

377. Lorsque nous avons cherché à déterminer une fonction inconnue /, d'une variable x^ connaissant sa dérivée par rapport à x , nous avons supposé que cette dérivée était exprimée au moyeu de x seulement. Il est facile de ramener à ce cas celui où la dérivée serait le produit d'une fonction de x par une fonction de y. En effet, en divisant par le facteur fonction de y^ on obtient une équation de la forme suivante , dans laquelle F (j) et f{x) sont des fonctions connues :

(«) pw|=/('^

ou

(2) ¥{y)dy^f(x)dx.

On dit alors que Igs variables a: , / sont séparées.

Si maintenant on trouve une fonction Fi (y) dont la dérivée par rapport ky soit F (j^), et une fonctionyi [x) dont la dérivée par rapport à x so\xf[x) , l'équation (i) nous montre que F^ {y) et /i [x) auront même dérivée par rapport à x , quelle que soit la valeur de x, et que , par conséquent, elles ne peuvent différer que par une constante; on aura donc

C désignant une constante arbitraire. On aura donc ainsi Véquation cherchée entre x et y^ et le problème est ra-

502 UV&X III.

mené, coiâme on le voit, à celui qui a été traité précédemment et qui consiste à reiûonter de la dérivée d^une fonction à cette fonction.

En prenant l'équation sous la forme (2), les deux membres sont les différentielles des deux fonctions Fi {y) 5 fi {x ) , relatives à des valeurs correspondantes dedx, djr. Les accroissements finis quelconques de ces deux fonctions , en passant d'un système de valeurs de x^y knn autre quelconque, sont donc égaux, et ces fonctions ne peuvent différer que par une constante 5 ce qui ramène à Téquation ( 3 ) .

DES LIMITE» DE SOMMES. 5o3