RECTIFICATION DES COURBES
378, D'après ce que nous avons dit dans le premier chapitre du livre III, l'aire comprise en treles deux ordonnées relatives aux abscisses Xo et j:, peut être représentée en coordonnées rectangulaires par i ydx , et , en coordonnées
obliques par sin 0 j ydx^ 9 désignant l'angle des axes. L'é-
quation de la courbe donne j en fonction de Jc, et la quadrature de la surface en question est ramenée à une intégration. C'est pour cela que Ton désigne souvent par le mot quadrature l'opération du calcul intégral par laquelle on remonte de la différentielle d'une fopction à une seule variable, à cette fonction même.
Si Taire à calculer était comprise entre deux ordonnées et deux arcs de courbe, l'expression de sa différentielle serait (Y — y) dx^ en désignant par Y et y les fonctions de x qui représentent l'ordonnée de chacune des deux courbes. Si la nature de l'une ou de l'autre de. ces courbes changeait dans l'intervalle compris entre les limites, il faudrait partager cet intervalle en plusieurs autres , dont les limites seraient les diverses valeurs de x où s'opéraient ces changements.
Si la courbe est donnée par une équation entre des coordonnées polaires 6 et r, l'aire que l'on cherche' à évaluer est celle de la figure comprise entre deux rayona
5o4 LIVRB III.
vecteurs et l'arc de la courbe. Sadiilérentielle est, comme nous ravous déjà vu, r* — • Donc Taire comprise entre les deux rayons correspondants aux angles 0o y ^ aura pour
expression 7 / /•* dd^ r désignant la fonction de 6 tirée
de l'équation de la courbe.
Si la surface à évaluer était comprise entre deux rayons vecteurs et deux courbes , sa différentielle serait
rf0, r et /' désignant les rayons vecteurs des
deux courbes, relatifs à une même valeur de Q ; Taire cherchée serait donc exprimée par f I (r* — /•'*) rfô,
étant des fonctions connues de 6 , déduites des équations des deux courbes.
exeAiples.
Paraboles, — Proposons-nous d'abord de calculer Taire des paraboles renfermées dans Té([uation générale •
m tin étant positifs \ on aura
retr
n I --ri - ^m
r^cVx=/î'" fx'"(ix=/J^^ h G
Si Ton prend Taire à partir de x = o, on aura C = o, et Taire terminée à Tordonnéc relative à une valeur quelconque de Xy aura pour expression
mp"^x"* mxy ^ , ou
La partie du rectangle xy qui reste , après avoir retrau-
DES LIMITES DB SOMMES. 5o5
ché celle-ci , et que Ton trouverait directement en prenant / xdy est ~\ donc l'arc de la courbe divise le
rectangle xy dans le rapport constant de min.
Si l'on considère au lieu de l'origine un point {« 5 6) de la courbe, les aires comprises entre les ordonnées ou les abscisses de ce point et du premier, seront les différences
de quantités ayant même rapport — ; elles auront donc
aussi ce même rapport entre elles. D'où l'on voit que si Ton projette un arc quelconque de la courbe sur Taxe des X et sur Taxe des y, les aires comprises entre cet arc , les lignes projetantes, et Taxe perpendiculaire, sont entre elles comme les exposants m ci n.
Hyperboles. — Considérons maintenant l'équation générale j^"* x" = a des hyperboles qui ont pour asymptotes les axes des coordonnées ; on aura
Çydxzrza"" Çx
ci —^ ^
Soit d'abord n<^r?i^ et supposons que l'aire commence au point dont les coordonnées sont a, 65 Faire aura pour expression
ma'"\x '""^'— a '""^'j //i(xr — a6) '
On voit que sa valeur est finie pour a = o, quoiqu'elle s'étende alors indéfiniment dans le sens des j^ puisque l'axe des y est asymptote de la courbe : mais elle devient infinie en môme temps que x*
Ainsi l'aire comptée à partir d'une ordonnée arbitraire, et prolongée indéfiniment vers Tune des deux
5o6 LIVRE III.
asymptotes, est finie ou infinie, suivant que la coordonnée comptée sur cette asymptote a le plus grand ou le plus
petit exposant dans l'équation. En cherchant — I xdj^^
on aurait Taire comprise entre Tare et les abscisses menées par ses extrémités \ son expression serait — -—-Ces
deux aires sont donc encore dans le rapport des exposants m et n.
Si l'on avait n^m^ on arriverait à la même conclusion.
Si Ton avait m=n^ l'éqUatîon serait de la forme xy=^p^^ et représenterait une hyperbole équilatèrc , puisque les axes sont rectangulaires. On aurait alors
XV=.ff-"r
Si l'on voulait que Taire commençât à Taxe des j, on aurait a = o ; ce qui fait voir que Taire comprise entre une ordonnée quelconque et Taxe desy est infinie.
Si Ton suppose oi^=:p^ Taire commencera a Tordonnée pienée par le sommet de Thyperbole; et, si Ton prend p pour unité, son expression sera Ix. C'est cette propriété qui a fait donner aux logarithmes népériens le nom de logarithmes hyperboliques.
Réciproques, — Les paraboles et les hyperboles que nous venons de considérer jouissent de cette propriété commune que, si Ton projette un arc quelconque de ces courbes sur les deux axes, les aires comprises entre cet arc et les coordonnées parallèles sont dans un rapport constant. Or il est facile de démontrer qu'elles sont les seules courbes qui en jouissent. En eflTet , cette condition générale est exprimée par l'équation
n j ydx=z±m j xdy.
DES LIMITKS PB SOMMES. So*]
Le signe — du second membre se rapportant au cas où dy et dx sont de signes contraires.
Différentiant les deux membres en considérant le point a , S comme immobile, et a:, jr comme seules variables, il
vient
dx , dy nydxz=:± mx dy^ ou n — = ± /» — ?
et intégrant
n\x^=^±m\y -\'\cy
en désignant par le une constante arbitraire. Cette équation peut se mettre sous la forme
0?" = cy^=^y
et représente des paraboles, ou des hyperboles, suivant qu'on suppose que les coordonnées varient dans le même sens ou en sens contraire.
Ellipse, — Soit l'équation de rellipse
a^y^-h b^x*=:a^b', ou y= -^a^ — x';
on aura
I ydx = - j dx y fl^ — x^.
Or, en intégrant par parties, on trouve
f* x^ dx
Mais
= I i -____: — = — I drya — Jc -Ha'arc>sm-;
en substituant, il vient I dx^a^ — jc» = X si à* — x* -h û' arcsin \ dx ^a' — a?'.
Réunissant les deux intégrales, que Ton supposera prises à partir de la même limite, et ajoutant une constante arbitraire, il vient, en divisant par 2, puis multipliant
5o8 LIV&B IXI.
par-,
b ,r , /- r hxsla^'^x^ ah . x ^
- I dxx/a^ — x^ = — ^ 1 arcsm--4-C.
a J la 2 a
Si Ton veut que Taire commence à l'axe des y, on aura
C = o. Si Ton fait ensuite jc = a, on aura -y- pour la
valeur du quart de l'ellipse. L'aire de l'ellipse entière est donc i^ab : elle devient wa', si J = a.
bx {/a* — x^ , , . 1 y ^y I
Le terme — étant équivalent a — mesure le
triangle dont les côtés sont x e\. y\ par conséquent, le
terme —arc sin - mesure le reste de Faire, c'est-à-dire le
secteur formé par l'axe des j, l'arc de l'ellipse et le rayon mené du centre à l'extrémité de cet arc.
Hyperbole. — Soit maintenant l'équation de l'hyperbole
a^f — ^'x- = — û' ^% ou r = - yx» — fl» ;
on aura
\ ydxizs.- j dxyjx^ — û'.
Et, si Ton suit la même marché que pour l'ellipse, on trouvera
Vrfx = ^l^^^.=^--l (x+s/r:ï^rP)-HC;
si l'on veut faire commencer Taire au sommet j son ex-
pression devra être nulle pour a: = a, d ou G = — !«? c'
Taire aura pour valeur.
bx ^x* — a^ ab^ . x -4- ^x^-^a'' ^a 9. a
DES LIMITES UE SOMMES. 5o9
Le premier terme étant égal à -^ ? on en conclui que
ah .x-^- Jx^ — «' . V • j
— 1 L.^ est 1 expression du secteur compris
entre Taxe transverse , Tare de l'hyperbole et. le rayon mené du centre à Textrémité de cet arc.
Çycloïde. — Considérons maintenant la cycloïde rapportée à son sonmiet A (fig» 96) ; son équation différentielle sera
dx y 2
2 a étant le diamètre AB du cercle générateur. L'aire AMP a pour expression
J[ jrdx, ou I dy\jQ.ay—y''y 0 Jo
elle est donc identique avec Taire AQN relativement au cercle générateur. .
L'aire totale ADK est donc égale à la moitié de celle du cercle , ainsi que Taire symétrique CHA \ et', comme le rectangle CHKDC est égal à ^1:0^^ Taire CADC sera égale à ÎTTa', ou au triple du cercle générateur.
Quaut à l'expression de Tintégrale
dx\j7.ay-^y\ on observera qu'elle est identique avec
dysla^—ir — aY',
elle rentre donc dans celle que nous avons calculée dans le cas de Tellîpse , en y changeant x en y — a. Ainsi Ton
5lO LIVEF. III.
aura
/ . (y~-a)sJiay — r' a} . r — a ^ drslT.ax'^y^^^-^ ^-^ — ^- ^+ — arcsin^^^ hC. 2 7. a
Si Ton prend l'intégrale à partir dej^ = o, on aura
et si Ton prend pour seconde limite j^= 2 a, la valeur de l'aire sera
comme nous l'avions déjà reconnu.
Spirale loganthmique, — L'équation de cette courbe est, en coordonnées polaires, r= Ae'^^ \ Taire comprise entre deux rayons vecteurs correspondants aux angles 9^ et 6 aura donc pour expression
e^^d% ou |!(^^«^-^^«e.),
ou
en désignant par r^ et r les valeurs extrêmes du rayon vecteur.
Si l'on part de ro = o , c'est-à-dire si l'on cherche la limite de l'aire comprise entre le rayon fixe r et un autre rayon dont l'extrémité tend vers le pôle , tandis que sa direction tourne indéfiniment autour de ce point asymp-
tote, on trouvera simplement 7—» Cette aire croît don
comme le carré du rayon vçcteûr.
ne
DES LIMITES DE SOMMES. 5ll
Rectification des courbes.
379. Nous avons démontré que la différentielle d'un arc de courbe plan est \J dx^ -f- dj^ , en supposant les axes rectangulaires : elle sera pour une courbe à double courbure, ^ dx^ + rf^' + dz^. Lorsque les axes font entre eux des angles quelconques , on sait quels termes il faut ajouter sous le radical^ mais on suppose ordinairement ces angles droits. L'arc dont les extrémités correspondent aux abscisses Xo et x aura donc pour expression, dans le premier cas,
et , dans le second ,
sJdx^-^-dy^-^dz^.
Si la courbe plane était rapportée à des coordonnées polaires, nous avons vu que la différentielle de sa longueur aurait pour expression
et sa longueur serait, par conséquent, exprimée par
I 00 et d étant des valeurs extrêmes de l'angle 0.
I EXEMPLES
Parabole, — Soit d'abord la parabole ayant pour
I équation
, Ydy ' j- ^ = 2 px, d'où ydjr = pdx, dx = ?
5l2 LIVRF. III.
on aura
La longueur de Tare dont les extrémités correspondent à /o et y aura donc pour expression
Si Ton veut faire commencer Tare au sommet , on aura et Texprcssion de cet arc sera
Ellipse. — L'équation de l'ellipse
donne
dy l'x dx /i' V
ds:
en désignant si à^ — &' par ae.
L'abscisse j: étant toujours moindre que a, on peut poser
X •=:= a sin 7, d'où
dx =za cosff dfff ds = ar/ç y i — c* sin'^ •
Pour intégrer cette expression, on développera le radical en série , ce qui est permis , puisque le second terme est plus petit que le premier. On aura ainsi
(I - «' sin« »;' == 1 - i e« sin' ? - ^ e* sin* 9 - ... ~ LilJ^Cl^Lni) ^j-sio-f
DES LIMITES DE SOMMES. 5l3
et, par suite,
Cette série sera d'autant plus convergente que l'excentrîcîté e sera plus petite. Si l'on intègre à partir de 9 = 0, on aura
/cosoT . am— 1 . , iim — i)(am — 3)... 3 . 1 siii'""cJc = î-lsin'w-'aH sin«'»-'ç?-4-...-f-): B 7^ sinol ^ ^ 2TO L ^ im ^ (îm— 2)(am— 4)...2 J
(2TO — l)...3.l
et , si Ton prend pour seconde limite ^ = -) on aura pour l'expression du quart du périmètre de Tellipse,
7ca\ /i \» I/I.3A» I/I.3.5A* /i .3...(2m- 1) \« l
Si e = o, l'ellipse devient le cercle dont le rayon est a ,
et Texpression précédente se réduit à — > qui est, 'en
effet, le quart de la circonférence.
Hyperbole, — L'équation de l'hyperbole
donne
da: a}y V ^ — ^
en posant
Les valeurs de x étant toujours plus grandes que a, on
posera x = ? et l'on aura
^ cos^
ds = ae-^d X
COS'f
5l4 LITAB m.
Si l'on dëveloppe en série le radical, et qu'on intègre i pytir de f = o qui correspond kx = a^ on aura
X9^df r icoft'9 1 . 1 C08* y i.i.3...(3m — 3)co8*'f "I Ï^L' «"«^ M e* *"••• 0:4.6. ..am «» ' '|
dott
^9 ^ C^ a r* • ' ^^\ i.i.3co»*y i.i.3...(afn~3)coi'*"'f 1
Lorsque a; croit indéfiniment, f tend vers -9 et 5 croit
sans limite. Mais si Ton cherche la différence entre Tare • et la partie de l'asymptote comprise entre le centre et le point correspondant de l'abscisse de l'e:Ktrémité de Tare, cette différence tend vers une limite dont il est facile d'obtenir l'expression. En effet, cette partie de l'asymp-
tote est éeale à ; et , si Ton en retranche s , il reste
ag(i ^ stny) aç cosy
Si l'on passe a la limite ç = -» il vient
380. Cycloïde. — L'équation de la cycloïde rapportée à son sommet est
dx V aar-j'
d'où
ds — dyUi
donc
jL
DBS LIMITES DE SOMMES. 5i5
et si Ton fait commencer Tare au sommet, on aura C = o et s= n ^2flj.
Si l'on fait jr = a a, on aura la moitié du périmètre de la cycloïde, qui sera égale à 4«. Pour une valeur quelconque de y, s est double de la longueur de la tangente.
C'est à quoi Ton était déjà parvenu par la théorie des développées.'
Spirale logarithmique. — L'équation polaire de cette courbe est
^ = Ac^^ d'où drz^Aae^^dQi
ds = s/dr^-hr^d^' = A ^ i -h a\ c^^d^. Donc
Si l'arc commence au pôle, qui est asymptote de la courbe , on aura
C = o et sz=: r ^
Cette expression est celle de la longueur de la tangente menée à l'extrémité de l'arc, et terminée à la perpendiculaire au rayon vecteur mené par le pôle. Ce résultat avait déjà été obtenu par la théorie des développées.
381. Supposons maintenant les points déterminés par trois coordonnés polaires. Soient 0 l'angle formé par le rayon vecteur r avec l'axe des z , et ij/ l'angle formé par sa projection sur le plan XY avec l'axe des x. Toute courbe sera déterminée par deux équations entre r, ^p, ô. Les équations qui déterminent généralement jr, ^, z en fonctions de r, ô, tf», feront connaître dx, dy dz^ au moyen de r, 6, ^^ dr^ dO^ d^ -, et en les substituant dans ^dx* -H dy^ + dz*y on aura l'expression de la différen-
5l6 LIVRE III.
lielle de Tare en coordonnées polaires. Mais on peut y arriver directement de la manière suivante :
Si l'on conçoit une sphère décrite du pôle comme centre avec le rayon r, elle coupe le rayon r-h dr en un point qui, joint à l'extrémité de /• par un arc de grand cercle, détermine un triangle rectangle infiniment petit, dont ds est l'hypoténuse et dr un des côtés de l'angle droit. Pour déterminer le troisième côté, on mènera par l'axe des z deux plans contenant respectivement les deux rayons , et qui comprendront entre eux l'angle d^ ; puis , par Tune des extrémités de ce troisième côté, on mènera un plan parallèle à XY : le côté cherché sera l'hypoténuse d'un triangle rectangle tracé sur la sphère, et dont les deux côtés de l'angle droit seront respectivement r sin 6d^ et rdO, On aura donc
ds= ^jdr^ H- rWe» -+- r* sîn»Ôûf^p2;
et pour avoir s , il suffira d'exprimer deux des variables en fonction de la troisième d'après les équations de la courbe, et d'intégrer entre les limites demandées. î
UES LIMITES DR SOMMES. 5 h']
