CUBATURE DES SOLIDES ET QUADRATURE DES SURFACES COURBES

Ciibature des solides de rév^olution.

382. Considérons maintenant le solide formé par la révolution d'une surface plane autour d'un axe situé dans son plan, et que nous prendrons pour axe des x. L'équation de la courbe qui termine cette surface est donnée entre deux coordonnées a:, y^ situées dans le plan YAX , j où se trouve primitivement cette courbe. Cela posé, nous

j nous proposons d'évaluer le volume compris entre deux

I plans perpendiculaires à l'axe de rotation, et qui est en-

i gendre par k partie MNM'N' de la surface {Jig*Q'j)

comprise entre les deux ordonnées arbitraires MP, NQ. Pour cela , nous chercherons l'expression de la différentielle de ce volume, que l'on peut considérer comme laccroissement infiniment petit que prend le volume V lorsque la variable x dont il est fonction prend Taccroissement dx. Soit QR = dx^ d\ sera considéré comme le volume engendré par la surface NKN'K'. Mais, si par les I points N ,N' on mène des parallèles à AX, on remplacera

NKN'K' par un rectangle qui engendrera un volume, dont le rapport avec l'accroissement exact du volume aiira pour limite l'unité; ce que l'on démontre comme I pour les aires. Mais le voltime qu'engendre ce rectangle a

I pour mesure t: (j' — y'^) dxj y et j' étant les ordon-

I nécsNQ,N'Q; donc le volume V, compris entre deux

5i8 Liv&c ni.

plans correspondants aux abscisses Xo^ x, a pour expres-

sion

V=7r f (^»-j'«)rfx.

Si l'on veut aroîr le volume total, il faudra prendre pour limites de cette intégrale la plus petite et la plus grande des valeurs des x auxquelles correspondent des points de la surface donnée.

EXEMPLES

Ellipsoïde. — Supposons que. la surface génératrice soit celle d'une ellipse tournant autour d'un de ses axes, son équation sera

et Ton aura

^"^ ^*/^'"'* - X») rfx = ^ («X' - j) + C. Si le volume doit commencer au sommet , on a C = o et Y^—(a.^^jy

On aura le volume entier de l'ellipsoïde en faisant 0:= 2a, ce qui donne

il devient ^-7r a* si ft =^ a, ce qui réduit l'ellipsoïde à la

splière dont le rayon est a,

ÏL est à remarquer que la différentielle rfV, ne renfermant pas de radicaux, ne devient pas imaginaire en dehors des limites o et 4- 2a; elle ne fait que changer de $i^«^ et est égale, au signe près, à celle du volume en-

DES LIMlTBt DK SOUMBS. SlQ

gendre par Thyperbole, dontrëquation serait

Il résulte de là que, si dans l'expression de V on donne à la seconde limite x une valeur négative , on obtiendra le volume de rhyperboloïde, depi;is cette valeur de icjus-"" qu'à X = O'^ que, si l'on donne à x une valeur positive , plus petite que 2a, on aura le volume de l'ellipsoïde de-

puis .r = 0 jusqu'à cette seconde limite; et qu'enfin, si Ton donne à X une valeur positive plus grande que a/i, I on obtiendra le volume entier de l'ellipsoïde, diminuée

j du volume de Thyperboloïde compris entre x = 2a et la

seconde limite.

Donc, si Ton veut trouver la valeur qu'il convient de donner à x pour que V soit égal à un volume donné , ou que r ellipsoïde soit partagé dans un rapport donné, on trouvera trois valeurs réelles : l'une négative, l'autre positive fet plus petite que 2û, et la troisième positive et plus grande que 2 a. Mais la seconde seule satisfait à la condition de partager l'ellipsoïde dans le rapport demandé, ou de manière à ce que V ait une valeur donnée, pourvu

qu'elle soit moindre que ^Tra* J.

Tore» — Ce solide est engendré par la révolution d'un cercle autour d'une droite située dans son plan. Soit Téquation de ce cercle

(j-6)'+(x-«)'=R% ou .

j = 6±v/R* — (jc — a)'.

La diflërenliellc du volume est {Jig, 98 )

blO LITEE III.

OU encore

2ir€.MM'#Zr.

Or MyV #ir est la difierendelle de Faire du cercle générateur* Donc le Tolnme engendré par la partie du cercle comprise entre deux ordonnées quelconques est ^alà cette aire multipliée par 2^0 , c'est-à-dire par la circonférence décrite par le centre du cercle.

Si l'on veut avoir le Yolume entier du solide, il faut multiplier Taire du cercle par la circonférence décrite par son centre, ce qui donne air'gR*..

On trouverait le même résulut en int^rant la différentielle dx ^R* — (x — a)' que nous avons déjà trouvée dans la quadrature de Fellipse et du cercle.

Quadrature des surfaces de révolution .

383. Nous avons appelé aire dune surface courbe la limite de l'aire d'un polyèdre inscrit ou circonscrit à cette surface, et dont les faces infiniment petites ont pour limites de leurs directions les plans tangents aux différents points de cette siu^face.

Nous en avons conclu qu'on peut, au lieu des éléments plans qui composent la surface du polyèdre , considérer des surfaces courbes dont les plans tangents aient pour limites ceux de la surface proposée. On pourra donc regarder la surface engendrée par la révolution d'un arc de courbe plane, tournant autour d'un axe situé dans son plan, comme la limite de la somme des troncs de cônes infiniment petits , engendrés par les côtés d'un polygone inscrit dans cette courbe. Si l'on désigne par y cl y + dj les ordonnées des deux points extrêmes d'un quelconque de ces côtés ayant pour longueur ds ^ la surface du tronc

de cône qu'il engendre aura pour mesure

^1^ [ y -h — \ ds y ou ^nyds,

en négligeant rinfininxent petit du second ordre.

L'aire engendrée par l'arc dont les points extrêmes ont pour abscisses x^ et x aura donc pour expression

27r / ydsy on T.'K j y ^ dx^ -^ djr^ .

EXEMPLES

Ellipsoïde. — Supposons que Tellipse dont l'équation est

tourne autour de l'axe des or; elle engendrera une surface dont la différentielle sera

Supposons d'abord a > i et posons

Taire, commençant à j: = o, aura pour expression

2nbc r"" , ^ /fl» I Kbe\~ ^ /^ ^ a' . cxl

f ilx K / —- — x^ :=. xi/ x'-4---arcsm — .

« Jx. y '' « L V ^' ^' «J

Il ne faut pas ajouter de constante , puisque l'aire est nulle pour a: = o. On aura la moitié de la surface de l'ellipsoïde en faisant x = a , ce qui donne , pour la surface entière 5

2i:ba .