b'^ H arc smr
Si e=:<>, a=ih^ el rellipsoïde deviiuit une sphère^
532 ilvmB m.
que
comme d'ailleurs tend vers Fimité i mesnrs
e- tend rers zéro, on aura i^iia^ pour la surface de la sphère dont le rayon est a.
Supposons , en second lieu, a <C & et posons
Texpression de Paire , à partir de x = o, sera
Si Ton fait x = a, on aura la moitié de la surface de l'ellipsoïde , et la surface entière aura pour expression
HvbJa^-h b^é* A 1
On retrouve encore la surface de la sphère , quand on suppose e= o. En effet, la première partie devient 2 tt a*; pour obtenir la seconde , on développera sjà* -+■ b' é^ en série, ce qui est permis, puisque t'e' tendant vers zéro est plus petit que a' , et Ton trouvera encore 27ra* ; ce qui donnera é^ita} pour Taire totale de la sphère.
Surface du tore» — Supposons qu'on fasse tourner autour de l'axe des x le cercle dont Téqualion est
la partie supérieure engendrera une surface dont la différentielle sera
27r [g + V^R*— (^— a)»] ds.
La différentielle de Taire engendrée par la partie inférieure sera
SIS LIMITBS DB tOMMKS. 523
Si on les suppose comprises entre les deux mêmes plans perpendiculaires à Taxe , x et ds seront les mêmes , et la somme des deux différentielles Sera 4 ^€^9 dont l'intégrale est 4 îtS 5 4- C .
On aura la surface entière en prenant s égal à la demicirconférence ttR, et C = o 5 ce qui donnera 4ïr'6R, ou 27rR27r6.
La surface du solide entier est donc égale au produit de la circonférence génératrice par la circonférence décrite par son centre.
On peut calculer séparément la surface engendrée par la partie supérieure , et par la partie inférieure de la circonférence. En effet, la première est
2ir [g j -hfds ^K'-^ix—uy] = 27r (6* -4-/R dx)
=:27r{gf-HRj?H-e).
Pour avoir la partie supérieure tout entière, il faut prendre pour X les limites a — R , a -h R , et donner à ^ la valeur ttR; ce qui donne
2ff»6R4-4wR'.
Dans le calcul de la partie inférieure, il n'y aura que le second terme à changer de signe , et Ton trouvera
2ir»6R — 4irR'.
Leur somme est 47î'6R, comme nous l'avions déjà trouvé^ Leur différence est SttR*, ou le double de la surface de la, sphère dont le rayon est R.
Il est remarquable que cette différence soit indépen-*^ dan te de la distance du cercle à l'axe de rotation ; et cela tient à la symétrie de la courbe par rapport à une parallèleà l'axe. Dans le cas général où cette condition sera remplie , la différence des surfaces engendrées par les deux parties de la courbe sera encore indépendante de la dis-* tance à l'axe de rotation.
^24 LIVKE III.
Volume des corps terminés par des surfaces quelconques.
384. Si l'on partage un corps en éléments infiniment petits par des plans perpendiculaires à Tun des axes des coordonnées rectangulaires, nous avons vu qu'on pourra substituer à ces éléments , des cylindres ayant pour bases les sections/aites par ces plans, et pour hauteurs les distances de ces mêmes plans 5 parce que la limite du rapport de ces cylindres aux éléments du corps est l'unité.
. Donc, si Ton peut obtenir en fonction de a: l'expression de l'aire de la section faite dans le corps par un plan quelconque perpendiculaire à l'axe des jr, la différentielle du volume sera F [x) dx , en désignant par F [x) l'aire de la section ; et le volume du corps compris entre deux plans perpendiculaires à l'axe des ar, et correspondants^ aux abscisses x^^ x^ aura pour expression
I F (x) dx. Le problème sera donc ramené à Tîntégra-
tion d'une fonction connue d'.une seule variable. Si Ton ne peut exprimer immédiatement Taire delà section , on en obtiendra la valeur au moyen d'une première intégration. Représentons par z et z' les ordonnées de la partie supérieure et de la partie inférieure de la surface. Ce sont des fonctions données de x et y, qui pourront être de nature différente. L'aire de la section correspondante à une valeur quelconque de x aura pour expression J(z — z') dy^ y variant seul et x restant constant dans les fonctions, z et z i Les limites de cette intégrale seront les valeurs dej correspondantes aux points extrêmes de la section \ ces points seront , en général , ceux où la tangente à la courbe i est parallèle »^ l'axe des z *, et si Ton conhidère rensemblc
de toutes les sections , ces points se projettent sur le*
plan XY suivant la trace du cylindre circonscrit au corps, et ayant ses arêtes parallèles à l'axe des 2. Ces valeurs dejr qui sont les limites de cette première intégrale sont donc des fonctions connues de a?, et, par conséquent, y ( a — ^^) ^J sera une fonction de x^ que nous supposerons que l'on puisse former, et que nous représenterons par F {x). La question est alors ramenée au premier cas, I et il suffira de calculer /F {x) dx^ entre les deux limites
données pour x. Ces deux intégrations successives s'expriment de la manière suivante :
jo ely désignent les deux fonctions de x qui expriment les ordonnées de la trace sur XY, du cylindre circonscrit au solide, et ayant ses arêtes parallèles à Taxe des 2.
Ce calcul n'exige donc que deux intégrations de fonctions d'une seule variable.
On peut remarquer que ce procédé revient à calculer la somme des expressions de la forme [z — z')dydx^ quand on donne à x et j^ toutes les valeurs comprises dans la projection du solide sur XY et variant par intervalles infiniment petits dx^ dy\ Cette expression est la mesure du parallélipipède ayant pour base dxdy et pour hauteur z — 2' ; et ce volume peut être substitué à l'élément du solide qui est compris entre les quatre faces latérales .de ce parallélipipède , parce que la limite de leur rapport est l'unité. La somme de ces éléments compris entre les deux plans dont la distance est dx^ sera exprimée par
dx r{z^z')dx.
et la somme de ces dernières expressions, relatives à toutes les valeurs de dx^ sera la somme de tous les éléments [z — 2î'f) dxdy du solide.
5^6 LivmK m.
385. Déterminons maintenant Téquation delà trace du cylindre circonscrit au corps et parallèle à Taxe des z.
Soit F {x^y ^ z)=zo l'équation de la surface du corps^ le plan tangent au point {sf^y^ z!) aura pour équation
En un point quelconque de la courbe de contact du cylindre et de la surface donnée, le plan tangent est parallèle à
iiF Taxe des z , et, par conséquent, — , = o ; les équations de
cette courbe seront donc
Si on élimine z entre ces équations, on aura sa projection sur XY, qui est la courbe demandée. Supposons que son équation soit ç (a:, j-) = o, les valeurs de^ qu'on en tirera seront les limites deTintégrale prise par rapport àj. Quant aux limites Xoy x^ ce sont deux valeurs arbitraires. Si Ton veut avoir le volume entier du corps, ces limites correspondront aux points extrêmes de la trace du cylindre, et s'obtiendront en cherchant les points de cette courbe où la tangente est parallèle à l'axe des j^ , ou encore les points de la surface où le plan tangent est perpendiculaire a Taxe des x\ ils seront déterminés par les trois équations
Si l'on avait pour objet de trouver le volume du corps, qui se trouve renfermé dans l'intérieur du cylindre, ayant ses arêtes parallèles à Taxe des z et une base donnée par son équation sur le plan XY , les limites de l'intégration par rapport à y seraient les fonctions de rr que
DES LIXITIS DS S^MMBS. ÔH*]
l'on trouTerait en résolvant cette équation par rapport
EXEMPLE
Ellipsoïde, — L*équationde rellipsoïde rapporté à ses axes est
La section par un plan perpendiculaire à Taxe des x est une ellipse ayant pour équation
a: désignant la distance de ce plan à l'origine , constante pour une même section, et variable d'une section à une autre. On peut calculer l'aire de la section au moyen de la formule que nous avons donnée pour la quadrature de l'ellipse.
Les demi-axes étant, dans ce cas,
l'aire de la section sera
Tf
ce sera la valeur de l'intégrale
Reste donc à intégrer ce qui donne
Si Ton fait Xo = — a , x = a , on aura le volume entier de Tellipsoïde, et son expression sera {Traie.
On voit que le volume de t ellipsoïde est les deux tien du cylindre droit circonscrit^ ayant ses arêtes parallèles à r un quelconque des axes.
Si les axes ne sont pas rectangulaires , les calculs ne différeront que par des facteurs constants. Soient X l'angle de l'axe des z avec Taxe dés j^, et (z l'angle de Taxe des X avec le plan YZ. La section faite par un plan parallèle à YZ aura pour expression
(z — z')r//sin>.,
et le volume compris entre ce plan et le plan infiniment voisin sera '
sinpd^ 1 [z — s')^/sin)..
Le volume cherché sera donc exprimé par sin ^ sin >i 1 dr j (z — z')tlx.
Dans le cas de l'ellipsoïde rapporté à des diamètres conjugués '2a\ ih\ id ^ on trouvera ^izalV d sin \l sin ^.
Cette expression devant être égale à ^Tiabc^ il en résulte a' b^d sin p. sin X = abc , ce qui montre que le parallélipipède construit sur les diamètres conjugués est constant. On voit encore que le volume de l'ellipsoïde est les deux tiers de celui du cylindre circonscrit, ayant ses arêtes parallèles à un diamètre quelconque, et ses bases parallèles au plan conjugué de ce diamètre. Ce q[ui prouve que tous les cylindres circonscrits de cette manière à T ellipsoïde sont équivalents.
