Si l'équation de la surface qui termine le corps

est donnée en coordonnées polaires r, 6, ^L? il est convenable d'exprimer la difTérentielle du volume dans le même système. Pour cela on concevra une sphère décrite du pôle comme centre avec Tunité pour rayon 5 et Ton par^ tagera sa surface par des grands cercles infiniment rapprochés dont les plans passent par l'axe AZ, et par des petits cercles dont les plans soient parallèles à XY, et à des distances infiniment petites les uns des autres. L'expression générale des quadrilatères qui composeront la surface de la sphère sera sinOdOdi^, On concevra ensuite un cône ayant son sommet au pôle et ce quadrilatère pour base , et Ton cherchera le volume du corps , qui se trouve compris dans ce cône indéfini. La partie de ce volume comprise entre deux sphères ayant pour rayon r et r-f- r/r, aura pour mesure

Si donc on intègre cette expression par rapport à r entre les deux valeurs Tq et r, relatives aux deux surfaces qui terminent le corps , on aura le volume du corps compris dans le cône que l'on a considéré. Sa valeur est

l(r» — rî)sin0€/ôû?rL;

r et To sont des fonctions connues de 9 et ^. Si maintenant on intègre par rapport à 9 entre les deux valeurs relatives aux limites du corps , eit qui sont des fonctions connues de ^ , on aura

^ f (r»-rJ)sinÔ^Ô.

Le résultât de cette intégration sera une fonction de ^^ que l'on intégrera entre les deux valeurs relatives aux plans entre lesquels le corps est renfermé.

Si le pôle est dans Fin térîeur du corps, les limites de 0 sont o et TT ^ celles de«j/ sont ô et 27: ; et la première limite 1. 34

53o LIVRE m.

de p est stéro. Le volume est alors exprimé par

Vo ^o

/^ sinBd^d^^

Quadrature des surfaces courbes quelconques.

387. D'après ce que nous avons dit sur le sens qu'il fallait attacher à l'aire des surfaces courbes , si nous divisons une surface quelconque par des plans infiniment voisins, perpendiculaires, les uns à l'axe des x, les autres à l'axe des y, chacun des quadrilatères qui composeront la surface , et dont la projection sur XY sera dxdy^ pourra être remplacé par la partie du plan tangent en un quelconque des points de la surface de ce quadrilatère , qui aura la même projection dxdy.

Nous supposerons que ce plan tangent soit mené au point de la surface qui se projette en un des sommets du quadrilatère dxd/y^ et nous choisirons celui dont Vx est le plujs petit, ainsi que Vj\ de sorte que ces coordonnées étant X , /, celles du sommet opposé soient x -{- dx^y -\- dy. Cela posé, l'aire d'une surface plane étant égale a sa projection orthogonale, divisée par le cosinus de l'angle de son plan avec le plan de projection , on aura , en désignaut par s l'aire de la surface courbe,

ds = dxdy \Jx + (£)'-^ (;J)'=,^-^^(rN/i4-/>' H- 7%

— , — > • ou p , 7 étant les dérivées partielles de la fonction

de X et 7* qui représente l'ordonnée de la surface. ^

Ainsi , pour obtenir la surface qui se projettera sur le plan XY dans l'intérieur d'une courbe, donnée par l'équation (p ( j:, j^) = o, on cherchera d'abord la partie comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe des x, et

DBS LIMITU DE SOMim. 53 1

distants l'un de Fautre de la quantité infiniment petite dx. Pour cela on intégrera par rapport à y, en considérant x comme constant , l'expression dxdj ^i -h />'-+- 7* , les limites de cette intégrale seront les valeurs de^ données parTéquation y [x^j) = o. Désignons ces deux fonctions de X parj^o , jr^. L'aire comprise entre les deux plans sera donc une fonction de x exprimée par

Si maintenant on intègre cette expression par rapport à X, entre les deux valeurs relatives aux limites de la courbe (J< (x^y) == o et qui satisferont à l'équation

on aura un résultat qui ne renfermera plus ni o: ni ^, et sera la mesure de l'aire demandée.

Si l'on veut avoir la surface entière d'un corps fini , il suffira de prendre pour l'équation ^ ( x, y) = o, celle de la courbe dans l'intérieur de laquelle se projette le corps, et de considérer, successivement ou en même temps, la partie inférieure et la partie supérieure de la surface. Cette courbe se déterminera, conmie nous Ta vous indiqué, dans la mesure des volumes.