CHAPITRE XIV
EXEMPLES DE LA DÉTEÂmINATION DES COURBES d'après une propriété de LEURS TANGENTES.
389. PEEMiEa EXEMPLE. — Troui^cr la courbe dont la souS'tangente est constante.
D'après Texpression géoérale de la sous-tangente, on
aura , en désignant par a sa valeur constante , par x el y
les coordonnées du point de contact, et par dy la dilTé-
rentielle de }a fonction qui représente l'ordonnée de la
courbe,
dx
séparant Ic^ variables, il vient
dx dy
et d'après la règle du n° 367, d'où
équation de la logarithmique.
Deuxième exemple. — Trouver la courbe dont la sonsnormale est constante.
Désignant par a cette valeur constante, on aura
d'où
parabole qui a pour a!fce la ligne des abscisses, a a pour paramètre, et son sommet en un point quelconque de Taxe des x.
Troisième exemple. — Troux^erla courbe dont la normale a une longueur constante a.
On aura dans ce cas l'équalion
d'où
dx^^a^-r\ ^^ + . ydy
Les variables étant séparées , on aura , par la règle connue,
x = ±sja^ — j' -h C, (j; — €)'-+->■» = a\
cercle dont le rayon est a, et qui a son centre en un point quelconque de l'axe des x.
Quatrième exemple.. — Troux^er la courbe dont la tangente a une longueur constante a.
L'équation sera dans ce cas
/ dit'
d'où
dx^ fl' — V' • ^t 4jr /-T :
-- = :—, tlx = ± — Ja» — r».
dr' r y^ ^
Le second membre est une des différentielleis binômes dont nous avons calculé l'intégrale , et en prenant le signe in-
férieur nous en déduirons l'équation suivante,
ar-hC = — v^«» — r'-f-«l. ' 5
cette courbe est celle qu'on nomme la tractn'ce.
Cinquième exemple. — Trouver la courbe telle que le carré de F arc soit proportionnel à F ordonnée.
11 est évident que Tare et Fordonnée doivent être nuls ensemble, et que par conséquent Taxe des x doit passer pai le point de la 'courbe qui est l'origine des arcs.
En désignant par 5 la longueur de Tare, la condition , donnée conduit à l'équation
s^ = ajr ou 5 = a' 7* ; pour éliminer 5, diflerentions les deux membres, il vient
d'où
'ds z=z^a^x'^ df = sidx' -h dy\
^dy' =dx'-hdx\ et, par suite, ^_____
Celte relation est identique à celle que donnerait une cycloïde dont le cercle générateur aurait pour diamètre j-i
et dont la tangente au sommet serait Taxe des x.
On retrouverait, au reste, F équation finie de la cycloïde en intégrant les deux membres de l'équation précédente.
Sixième exemple. — Trouver V équation d'une courbe dont toutes les normales soient tangentes à une courbe donnée.
536 LIVRE m.
La courbe à laquelle les normales d*ane courbe quelconque sont tangentes étant la développée de cette dernière, on voit que le problème consiste à trouver la développante de la courbe donnée.
Soient dd^y' les coordonnées d'un point quelconque de la courbe donnée, dod^ d/ leurs différentielles, a, 6 les coordonnées du poiut correspondant de la courbe doDuée dont Téquat^on est (i) F(«,6) = o.
La normale aura pour équation
puisqu'elle passe au point (a, 6) on aura
et comme elle est tangente à la courbe (i), il s'ensuit
ce qui change Féquation précédente en celle-ci
Entre les équations (i), (2), (3), si on élimine a, ^ après avoir remplacé — par sa valeur en «, 6 que donnera la différentiation de l'équation (i), on aura une équation entre xf^y et ^, appartenant à la développante. Ce calcul est le même que celui auquel nous avions été conduits dans la théorie des développées. Nous allons Tefiectuer dans le cas particulier du cercle.
Véyeloppante du cercle. — r- L'équation (1) devient, dans ce cas,
d'où
da S
ae€/a+ 6<i6=: O, -77= 't
réquation (3) devient, en supprimant les accents,
ax -4- 6/ = a\ et réquation (2} sera
l'élimination de a et S conduit à l'équation suivante .
(4) {xdt -^ fdf )> = a' ( dlr» -h <(r' ).
Soient B (fig. 99) le point du cercle à partir duquel on fait le développement, M un point quelconque de la développante, et T le point correspondant du cercle, on aura
TM = arcBT;
si l'on désigne l'arc BM par s et AM par r, on aura
^=j?>-|-^% rdr z= X£ix -h X^X9 dx* -^^ dy =z ds^ ;
l'équation (4) devient alors
rdr = ads.
Les variables ret j étant séparées, si l'on intègre les deux membres, après les avoir doublés, on obtient
La constante C se déterminera par la condition que pour 5 = oon ait r=: a-j ce quidonneC = a', et, par suite,
Cette propriété remarquable en fait connaître une
autre, en observant que/'* = a* -h TM =a'-|-BT; eu efict, on déduit de là, entre les arcs BT el BM ou 5, la re-
538 Liv&E 111.
lation très-simple
BT = 2a*.
L'équation (4) peut être transformée en coordonnées polaires. En désignant Fangle MAX par 0, on aura
d'où .
' ar
en intégrant les deux membres, on obtient
e = - V r* — a' -f- arc sm - -♦- C,
et comme on doit avoir en même temps 0 = o, r=a,
il en résultera
et Téquation de la développante deviendra
(5) 0 = - Jr» — fl' — arccos--
C'est ce qu'on déduirait immédiatement de la figure , en observant qu'on a fl = TAX — TAM, ce qui n'est autre chose que l'équation (5).
L'équation précédente «x H- 6j^ = a* nous redonnerait, comme nous l'avons vu dans la théorie des développées, l'équation de la développante en coordonnées rectangles. Mais on peut la déduire de l'équation (5) que Ton mettra d'abord sous la forme
arc ces - = - v /"' — à^ — 0 , r a^
- = cosO C08 - i/'^ — a' H- sin 0 sin - v^r* — a^ ; r a a
remplaçant cosfl par-» sin 9 par - et r" par x* -hj', on
obtient enfin Téquation déjà trouvée de la développante du cercle
* co$ - v^«* -f-^' — a' -h jrsin- v'^'-h/* — a* = a, a a
que Ton obtiendrait directement en projetant Tabscisse et l'ordonnée du point M sur le rayon AT.
54o NOTE I.
On appelle série une suite de termes positifs ou ni^gatifs, dont le nombre est infini.
On dit qu'une série est coni^ergente, lorsque la somme algébrique des n premiers termes tend vers une limite déterminée, à mesure que n augmente indéfiniment. Elle est divergente dans le cas contraire.
1 . Le développement en séries peut être très-utile pour la détermination approchée des grandeurs, soit constantes, soit variables. Mais on ne peut évidemment, dans des calculs soit numériques , soit algébriques , remplacer une quantité quelconque par une série , que lorsque celle-ci a pour limite cette quantité même. Il est donc nécessaire de connaître quelques caractères d'après lesquels on puisse juger si une 5érie donnée est ou n'est pas convergente. Nous allons exposer les règles les plus simples qui ont été données à cet effet, et dont quelquesunes sont tirées du Cours d'Analyse de M. Cauchy.
Nous remarquerons d'abord que la somme des termes d'une série ne peut tendre vers une limite déterminée, si la grandeur des termes ne tend pas vers zéro. Cela est tout à fait évident, lorsque les termes sont tous de même signe, parce qu'alors leur somme croîtrait indéfiniment avec leur nombre. Mais, lors même qu'ils seraient de signes différents , les sommes successives ne pourraient avoir une différence moindre que toute quantité donnée avec une grandeur déterminée, puisque deux sommes
coûsécutives auraient toujours entre elles une différence finie, qui serait le terme auquel s'arrête la dernière. Il est donc indispensable , pour qu'une série soit con-
.vergente, que ses termes aient pour limite zéro 5 mais cela n'est pas suffisant, comme nous aurons occasion de le reconnaître. Il faut toujours s'assurer qu'après avoir dépassé un assez grand nombre de termes , à partir du commencement, et s' arrêtant à un terme quelconque au delà , la somme des suivants , quelque nombre que Ton eu prenne , est au-dessous d'une quantité , qui peut être supposée aussi petite que Ton voudra.
Il est encore bon. de remarquer que si une série est convergente quand on prend tous ses termes avec le même signe , elle le sera encore quand on multipliera tous ses termes par un même nombre quelconque, ou même par des
' nombres différents, positifs ou négatifs, pourvu qu'ils restent finis. En effet, puisque la somme arithmétique des termes de la première série, qui sontjau delà d'un certain rang, peut être supposée moindre que toute grandeur donnée, il en sera dcf même dans la seconde 5 car la somme de ses termes au delà du même rang, lors même qu'on les pren-
. drait tous avec le même signe, sera moindre que la somme des correspondants delà première , multipliée par le plus grand des facteurs introduits, qui est supposé fini.
