III I

oifre un exemple d'une suite indéfinie de termes décroissant indéfiniment, et dont la somme n'a pas de limite.

En effet, faisons la somme des n termes qui suivent -> ou

/iH- I /ï -f- 2 2 «

elle est évidemment plus grande cpie

II I n - I 1 h... H ou — 5 OU enfin —

Donc , à quelque lerme que l'on s'arrête dans la série en question , on peut toujours en prendre un assez grand nombre à la suite , pour obtenir un nombre plus grand

que -; et, par conséquent,^ la somme des termes de cette

série ne tend pas vers une limite, et peut croître indéfiniment.

Séries dont tous les termes sont positifs.

3. Premier théorème. — Une série est com^ergente , lorsque le rapport d^un ternie au précédent tend vers une limite plus petite que Vunité^ à mesure qne le nombre . qui exprime son rang déifient de plus en plus grand. Elle est divergente lorsque cette limite est plus grande que Punité.

Soit la série

w. -h w, -+- "i. . . -h Mb+.H- . . . ,

et supposons que -^ ait une limite k plus petite que l'u-

ni té. Soit a un nombre déterminé quelconque , compris

entre i etfc-, -^ finira par être constamment inférieur

à a, quand n aura dépassé une certaine valeur. En considérant la série à partir d'un terme quelconque, au delà de cette valeur, on aura cette suite indéfinie d'inégalités.

"n '•ii-f-i '•n-f-5

d'où résulte

Tous les termes, à partir de i^n+i^ sont donc inférieurs à

ceux de la suite

qui est une progression géométrique décroissante, et qui a, par conséquent» une limite. Donc aussi la série proposée a une limite , puisque la somme de ces termes , tous positifs, ya constamment en augmentant, et reste néanmoins au-dessous d'une certaine quantité finie.

Il est même facile d'apprécier l'erreur commise eh s'arrêtant à un terme quelconque. En effet, on a

w«-+-«i.+tH-...<"n(i -f-a-h a«-f-.. .); donc

liin.(a« -h ««+•-»-... )<-^^^^ —

L'erreur commise en s'arrêtant au terme tt„j inclusivement est donc moindre que — ^- Or u^ est une quantité

connue, qui peut être aussi petite que l'on voudra, puisque les termes de la série , étant au-dessous de ceux d'une progression géométrique décroissante, peuvent devenir moindres que toute quantité donnée : quant à a, il sera en général assez facile d'en avoir une valeur suffisamment approchée.

Il est évident que notre raisonnement ne suppose pas

que "^ ait réellement une limite , mais seulement qu'il

finisse par être toujours au-dessous d'un nombre déteiminé , plus petit que l'unité* Nous nous sommes exprimé

I ainsi , parce que ce Vest que dans des cas très- exception-

nels que cette fonction de n a une valeur indéterminée

I lorsque n augmente indéfiniment. Cette remarque s'ap-

pliquera à tout ce qui suit.

' 4. Si, au contraire, on avait A\> i , on finirait par avoir

'^^ ^oL^a étant compris «ntre i et A, et, par conséquent, plus grand que Tunité. On aurait alors

Les termes dé la série proposée croîtraient donc indéfiniment, et, par conséquent, à plus forte raison la série n'aurait pas de limite. Elle serait donc divei^ente.

Si Ton avait A = i, on ne pourrait rien affirmer; et, dans ce cas, il peut arriver qu^une série soit convergente, ou qu^elle soit divergente.