hi

Donc la somme des termes qu'on néglige dans la proposée est inférieure à la limite de la somme des termes de cette progression , qui est

C'est done là une limite de Terreur commise en s'arrêr

tant a

On pourrait prendre, à pins forte raison, comme limite , Tcxpression plus simple

dont la valeur est plus grande que la première.

Cette série est d'un grand usage dans l'analyse, et l'on désigne ordinairement sa limite par la lettre e.

Il est facile de démontrer que sa valeur est incommensurable.

Eu effet, supposons qu elle soit commensurable; comme elle n'est pas entière, elle sera représentée par une expression fractionnaire irréductible-» q étant "^i: on aurait ainsi Tégalité

p II t

En multipliant les deux membres par i . 2 .3 ...</, on aurait

Or la limite de la somme des termes fractionnaires du second membre est plus petite que Tunité , puisque ces termes sont inférieurs à ceux de la progression géométrique

dont la limite est -5 et , par conséquent, plus petite que

r unité. Donc la limite du second membre de la deraière équation ne serait pas égale au premier \ ce qui est absurde. Il résulte de là que la limite de la série proposée ne pouvait être égalée à un nombre commensurable. Cette

BÈGLSS SlilL LA COKVBAGElfCB OBS SBBIBS. 547

limite est donc incommensurable , comme nous voulions le démontrer.

8. La quantité que nous avons désignée par e peut être considérée comme la limite, d'une autre expression remarquable que nous allons faire connaître.

Désirons par m un nombre entier positif croissant indéfiniment , et considérons l'expression

qui se présente sous la forme indéterminée i ^ , quand on y fait m infini. Pour déterminer la limite vers laquelle elle tend, quand m croit indéfiniment, développons-la suivant la formule ordinaire du binôme; nous aurons

m [m — i),,.(m — /i-hi) i i

Tous les termes du second membre sont positifs, et leur nombre est fini et égal à m + 1. On peut mettre cette équation sous la forme

.i.v..^i^H).H)i:il).....

On voit d'abord qu'un terme quelconque, de rang déterminé et invariable, augmente en même temps que m; et comme le nombre total des termes augmente aussi, leur somme augmente constamment. D'où il suit que

( I H J augmente en même temps que m .

Ou reroiluaîl encore que les tiuméraleurs des termes qui forment le second membre de réqaation.(i), étant moindres que Tunité, ces termes sont au-dessous des correspondants de la série

(2) iH \ h 5-f-. . .H h...

dont la limite est e. D'où l'on conclut déjà que ( H — |

est toujours moindre que e; mais nous allons démontrer qu'il s'en approche indéGnîment.

En effet, le terme qui en a n avant lui dans le développement (i) tend indéfiniment vers — à mesure

que m croit. Donc la somme des /i -f- 1 premiers termes de ce développement peut différer aussi peu qu'on voudra de la somme 5„ des correspondants de la série (2), quelque grand que soit le nombre déterminé n. Mais la différence entre s^ et e peut devenir moindre que toute quantité donnée ; donc il en est de même de celle qui existe entre e et la somme des n -+- i premiers termes du développement (1), et, à plus forte raison, de la différence qui existe entre e et le développement (i) tout entier, ou

(iH 1 • Donc enfin (iH — | tend vers la limite e

lorsque m croît indéfiniment, en restant toujours entier. Considérons maintenant des valeurs positives, non entières pour m. Faisons w = fz H- e, e étant une quantité positive moindre que l'unité, et p un nombre entier. L'expression lu I devient ( i H V : or on la ren-

dra plus grande si Ton diminue le dénominateur « -|- e et qu'on augmente l'exposant « -rh e ; et on la rendra plus petite en augmentant le dénominateur et diminuant l'exposant. I/expression proposée sera donc comprise enlre

BÈCLES SUA LA (.0»VEROE?(CK DES SEUIES. 549

les deux suivantes :

que Ton peut mettre respectivement sous la forme

Or il est évident qu elles tendent l'une et l'autre vers la limite e, puisque /x est entier, et que d'ailleurs le facteur

I H — et le diviseur i -+ tendent vers Tunité à me-

ft fA + i

sure que |x augmente. Donc enfin la quantité intermédiaire ( I H I tend vers e , de quelque manière que

varie la quantité positive, indéfiniment croissante, désignée par m.

Si l'on pose — == a , oîl énoncera le même résultat de

celte autre manière : ,

L'expression (iH-a)" tend vers la limite e lorsque a est une quantité positive qui tend vers zéro, suivant une loi quelconque.

Il reste à considérer le cas de — » ou de (y, négatif et tendant vers zéro. On posera , dans ce cas, i 4- a = --^

6 sera une quantité positive tendant vers zéro. On tirera de cette relation

et, par suite,

55o MOTB 1.

Or 6 étant positif, (i -H 6)^ leud vers e, lorsque 6 tend

vers zéro; de plus, i -h 6 tend vers Tunité; donc (i -h a)« tend encore vers a, lorsque a est négatif.

Ainsi , de quelque manière que la quantité a tende

vers zéro , r expression (i -H a)* tend vers la limite e.