Si au lieu de ( i H — ) on avait développé ( i -f- ~ ) i

on aurait trouvé pour limite, au lieu de la série (2), la suivante :

qui est convei^ente , quel que soit or, en vertu de la r^le précédente. Or

{-.^)-=[(-«^fI=['-4-

en posant —zsza'^etot tend vers zéro, quel que soit r,

iH 1 a pour limite e* quel que soit a:, et Ton a, par conséquent, l'idcndite suivante :

Ce développement important conduit immédiatement à celui de a'^ a étant un nombre quelconque. En effet, a = e^", la caractéristique 1 désignant les logarithmes d^ns la base r, qui est celle de Néper. On aura, par suite,

EÀGIES sua LA CONVERGENCE DES SÉAIES. 55 i

a^ = e*^'*,et, par conséquent , «'=14-- i 1 5 -h . . . -f-

Considérons encore la série

elle sera convergente si Ton a

Hm. x<l* ou x<it.

Elle sera divergente si l'on a x"^!^ et les termes croîtront indéfiniment. Lorsque l'on a x = iv la limite de

-^ devient Tunité, et nous avons dit quon ne peut,

dans ce cas , prononcer, en général , sur la convergence et la divergence d'une série. Mais il n'y a pas ici d'incertitude ^ car la série devient

et nous avons reconnu précédemment que la somme des termes de cette série est infinie.