Deuxième théorème. — Une série dont le terme

général est m„ est conv^ergente lorsque u^ tend vers une limite kplus petite que l'unité^ quand n augmente indé^ finiment. Elle est divergente lorsque la limite k est plus grande que l 'unité.

Supposons d'abord A <^ i , et soit a un nombre quel-

conque compris entre /î et i ^ d'après l'hypothèse, u^ finira par être constamment moindre que en , depuis une

çeruine valeur de n jusqu'à l'infini. On aura alors les inégalités suivantes :

d'où

Donc , & partir d^une valeur convenable de n , tous les termes de la série sont au-dessous de ceux de la progression géométrique décroissante

donc la série proposée a une limite; et Ton aura une quantité plus grande que Terreur commise en s'arrêtant à Wn-i) en prenant la limite de cette progression géomé-

tnque, qui est •

Supposons maintenant A^^i, et soit encore a un nombre quelconque compris entre A et i ; on finira par

avoir m" > a , au delà d'une certaine valeur de 71 , et l'on aura alors les inégalités

d'où il suit qu à partir de !/„, les termes de la série sont au-dessus de ceux de la progression géométrique croissante

Us croissent donc eux-mêmes indéfiniment, et la série proposée est divergente.

Enfin , si l'on avait A =r i , on ne pourrait affirmer, en général, si la sérip est convergente ou divergente.

EÈOLBS SUR LA CONVS&GEUCE DES SÉEIES. 553

il. Troisième théorème. -^ Si les termes d'iute série

(i) WoH- «,-4- «,-»-.. .-M<„H-. ..

vont constamment en décroissant à partir du premier ^ cette série sera corH^ergente ou dii^ergente en même temps que ta suii^ante :

(2) tt^H-2ai-f-4«3 4- 8w, + i6«i&H-. . . .

En effet, supposons d'àhotà la première série convergente. Ses termes allant constamment eu décroissant^ on aura les relations suivantes :

2tt, = 2«, ,

8W7<; 2^4 -+- 2^4 -H 2.Uq -h 2.U',, i6a,5<;2W8-f- .-h 2 «,5 5

Ajoutant membre à membre ces égalités et inégalités en nombre infini , on voit que la somme des premiers membres, qui sont les termes de la série (2), sera au-dessous delà somme de ceux de la suivante, terminés au même indice de w,

«0 -f- 2 tt, -H 2 «2 4- 2 tfj -f- 2 1/4 4- • . • .

Or cette série n'est autre chose que la série (i) dont on aurait doublé les termes, excepté le premier. Elle a donc une limite, et, par conséquent, la série (2) en a une à plus forte raison. Ainsi , d'abord la convergence de la première série entraîne celle de la seconde. Supposons, eh second lieu, la série (i) divergente, ses termes allant toujours en décroissant 5 on aura évidemment les rela-

554 HOTB- I.

tioD5 suivantes :

attirai 4- «a,

4«3>«,H- «4 •+- «5 4- «6, 8tf7>l«, 4-«. + «14-

Ajoutant les premiers membres entre eux , ainsi que les seconds, on reconnaît que la somme des termes de la série (a) est plut^ grande que la somme de ceux de la série (i) , terminés à celui d'indice double; et comme cette dernière croit indéfiniment par hypothèse, il en est de même de Tautre. D'où il suit encore, comme on voulait le démontrer, que la divergence de la série (i) entraîne celle de la série (2). Donc, enfin, les deux séries proposées sont toujours en même temps convergentes ou divergentes.