Prenons par exemple, pour la série (i), la suivante

2^ 3^ 4^ la série (2) deviendra

Or cette dernière est une progression géométrique dont la raison est 2'""^. Elle est décroissante si l'on a (jl>i* et croissante si /x <] i ou /x = i. Donc aussi la série (3) est convergente si jx ]> i , et divergente sijx<^i,oufjt = i. La conséquence relative h (i = i montre que la série

I 1 I fsi infinie, comme nous l'avions déjà reconnu.

&ÈOLES SUE LA CONVS&0ENCE DES SÉaiES. 555

i3. Quatrième TQÉoaÈMS. -^ La séria est cont^ergente , lorsque, n croissant indéfiniment ,

y-^ a une limite plus grande que Viinité. Elle est diver^

gente si cette limite est plus petite que l'unité.

En effet, soit h cette limite, et supposons d'abord A}> 1. On aura donc, depuis une certaine valeur de n jusqu'à l'infini, a désignant un nombre compris entre I et A ,

Les termes de là série proposée, à partir de tt„ , sont donc inférieurs à ceux de la suivante :

Or celle-ci est convergente d'après le théorème précédent , puisque l'on a a ]> i ; donc aussi la proposée est convergente.

Supposons en second lieu A < i, et soit a un nombre compris entre i et A. On finira par avoir, au delà d'une certaine valeur de n ^

-j^<«, ou «.>-.

Les termes de la série proposée seront donc alors audessus de ceux de la suivante :

Mais cette dernière est divergente, puisque Ton a a < i : donc la proposée l'est aussi. Ce 4ju il fallait démontrer.

ê 14. Lorsque la limite h est l'unité, on ne peut, en

général, prononcer sur la convergence ou la divergence

il ■

de la série. Cependant, lorsque le rapport t—^ est toujours

inférieur à sa limite i, il est facile de démontrer que la série est divergente.

En effet, Tinégalité y^ <^i donne

donc les termes de la série proposée sont au-dessus de ceux de la suivante :

que nous avons démontrée divergente. La proposée Test donc elle-même.

Si le rapport y-^ était, au contraire, toujours supérieui

h sa limite i, on prouverait bien que les termes de la série proposée sont au-dessous de ceux de la suivante :

mais celle-ci étant divergente , on ne saurait en < oucIuit que la proposée est convergente.

&ÈGLBS SUA LA GONVEEGSIIGB DES SEBIES. 55 7

Autre règle pour la conv^ergeiice des séries,