Remarquons d'abord que si Ton a luie série convergente

et qu'une autre série

n -H ï'i -4- . . . 4- J^n -^ Pi,+i -h . . .

soit telle, que, depuis un certain terme jusqu'à rinfînî , on ait

«'b Un

cette seconde série sera convergente -, car, si Ion multiplie la première par—» n ayant une valeur déterminée

lelle^ que la condition supposée soit remplie , la série ainsi obtenue sera encore convergente. Or tous les termes de la seconde, depuis ^'„, se trouveront inférieurs aux termes correspondants de cette dernière*, donc la seconde série sera elle-même convergente.

Cela posé, considérons une série

telle, (Jnelonait

Un

♦le rapport -^ étant toujours plus petit que l'unité, depuis

une certaine valeur de n jusqu'à l'infini. On pourra mettre ce rapport sous la forme

a étant positif et tendant vers zéro.

558 TOfB 1.

Or nous allons démontrer que si Ion a

lini. j»a>i,

la série sera con\er§enle; et qu^elle sera divei^enle si l'on a

lira. Jtx<^ I.

I**. Soit

lim. ir2=it et Jt^i.

Désignons par m une quantité déterminée quelconque , comprise entre i et A , et , par conséquent , plus grande que Tunité. D est facile de Toir que , depuis une certaine valeurde/» jusqu'à l'infini, on aura

En effet,

(-ir='

et pour que l'inégalité précédente ait lieu, il suffira que Ton ait

^ m mim — i)

OU

Or le second membre tend vers m et le premier vers *, à mesure que n augmente : donc, depuis une valeur déterminée de n jusqu'à Tinfini , Tinégalité aura lieu , puisque la limite de son premier membre est plus grande que la limite du second -, donc depuis celte valeur de n jusqu'à l'infini , on aura

AéCLBS SDR LA CONVEmOENCE DBS SÉRIES. 559

et , par suite,

ou

Mais si l'on considère la série

le rapport du terme général au précédent sera

et , par conséquent , plus grand que dans la série proposée. Déplus, la série (i) est convergente, puisque l'on a w ]> I : donc aussi la série proposée est convergente ] ce que nous nous proposions de démontrer.

2^« Soit maintenant

lim. /i«= X^ et ^<[i.

Prenons une quantité quelconque m comprise entre i et A, et , par suite, plus petite que l'unité; je dis que l'on finira par avoir constamment

OU encore

56o KOTS I.

En cHet^ lorsque n croit indéfini ment, le premier membre tend vers A, et le second vers m , qui est plus grand que fs. Donc , depuis une ceruine Taleur de n jusqa a Tinfini, les inégalités précédentes auront lieu; d'oà il résultera

et , par conséquent , -^' finit par être constamment supérieur au rapport des termes correspondants de la série dont le terme général est — . Mais m étant plus petit que

Tunité , cette dernière série est infinie ; donc la proposée Test aussi.

Donc enfin, comme nous Pavions annoncé, la série proposée sera convergente si Ton a lim. /la }> i , et divergente si Ton a lim. na<C,i.

16. On ne peut, en général, prononcer sur la nature de la série , lorsque Ton a

lim. /i a = I .

Néanmoins , si na est toujours plus petit que la limite i, on peut affirmer que la série est divergente j car alors on a

et le rapport -^ est supérieur au rapport relatif

à la série divergente

iH hô-H- • H ^—. ^

I d'où il résulte que la série proposée est infinie.

Le seul cas qui reste douteux est donc celui où Ton a lira. /la = I, noL n'étant pas constamment plus petit que i ,