III I

La fonction u, est, dans ce cas , -- , et va constamment en

décroissant quand x augmente , a étant supposé positif.

Or I — = ——-}- C 5 cl, par suite, / —est infinie

si l'on a a <;] I , et finie si a > i , Si a = I , on a

quantité infinie en même temps que x.

Donc la série proposée est convergente si a ^ 1 5 et divergente si a <;[ I, ou a = I .

20. Appliquons cette même règle à la série log2 logS j^log'* .

On a alors u^ = -^ 5 expression qui décroit constamment depuis la valeur de x pour laquelle log a: = 1 . Or ^dlrlog* log'o?

Donc f Ugdx est infinie, et la série en question est dit/m

vergente; ce qui montre que le produit V^2V^3 V^... v^/i... est infini. Notre première règle conduirait au même résultat, parce que Ton aurait

log« — /îlogf I +ij

log/i-4-logf i-h^j

ce qui donne lim. na = i . Mais comme on a évidemment /la <!, la série est divergente, diaprés une remarque faite précédemment.

RÈGLES SUE LA GOHVERCBNCB DBS SÉEIES. 565

L^une et l'autre règle feraient voir que la^ série dont le terme général est ( -^— ) est convergente.

Séries dont tous les termes ne sont pas de même signe.

2i . Lorsqu'une série n'a pas tous ses termes de même signe, il est évident qu'elle sera convergente, si elle Test quand on donne le même signe à tous ses termes, par exemple quand on les prend tous positifs. En effet, la somme des termes qui suivent l'un quelconque de ceux de la série proposée, est moindre que la somme des correspondants de la seconde , quel que soit le nombre que l'on en considère , puisque tous ces termes s'ajoutent entre eux dans la seconde, tandis que les uns s'ajoutent et les autres se retranchent dans la première. Donc, puisqu'à partir d'un certain terme de la seconde , la somme des suivants a une limite qui peut devenir moindre que toute quantité donnée , il en est de même à plus forte raison dans la première j et, par conséquent ^ elle est convergente.

On peut donc d'abord appliquer à ces nouvelles séries les règles données pour celles dont tous les termes sont de même signe, tant pour reconnaître la convergence que pour calculer une limite de l'erreur commise en s'arrê-^ tant à un terme quelconque. Mais ces règles ne dispensent pas d'en chercher de nouvelles, spécialement applicables aux séries dent tous les t^mes ne sont pas de même signes parce qu'une pareille série peut être convergente^ et devenir divergente quand on donne le même signe à tous ses termes. Nous nous bornerons à celle qui résulte du théorème suivant :

Théouème. •— Lorsque dans une série les termes finissent par être constamment décroissants^ et alterna^