Lorsque les termes d'une série sont de la forme

1/ -H «^ V — ij on eutend que cette série est convergente lorsque la somme des termes réels a une limite s y et que la somme des coefËcients de y' *- i tend de même vers une limite t : on dit alors que la limite de la série . est 5 -+• t \l — I.

On est ainsi ramené aux conditions de convergence de deux séries réelles. Mais il suffit souvent d*en considérer une seule, celle qui se rapporte aux modules des termes de la proposée.

En effet, on peut toujours poser

w -+- ï' y/ — i = p (cosO -f- v' "" ' sin 0),

566 KOTH I.

et la série proposée prend la forme

/ \ {?• (cosÔoH- \/-— I sinO,) ■+■ p, (cosô, -f- ^— -i sinô.) -f- • • .

( -K p« (gosO„ 4- v/^sinO„) 4-

Or, si la série

(a) ^ p« H- fi ■+• p» 4- . . . -4- pu -h . . ^

est convergente, en prenant tous les termes positifs, il s'ensuit^ à plus forte raison, que les deux suivantes :

tZ) ( ^* ^^^* "*" ^' ^^*^' 4- . . . -+- p« cosôn 4- . . . , ^ ' j po sîn 00 4- pi sin ^ 4- . . . 4- p« sin 0„ 4- . . .

le seront elles-mêmes 5 car, à partir d'un terme quelconque, la somme des suivants jusquà Finfini est évidemment moindre que dans la première. On peut donc énoncer la proposition suivante :

t/ne série imaginaire est com^ergente lorsque la série des valeurs absolues des modules de tous ses termes est convergente.

Lorsque la série (2) n'est pas convergente, il est possible que ses termes tendent ou ne tendent pas vers zéro. S'ils p'y teQdent pas , les séries (3) ne peuvent être tourtes deux convergentes', car, quelque valeur qu'on puisse supposer à Tangle 9, il est impossible que p cos ô et p sin 0 tendent tous deux vers zéro, si p n'y tend pas. Les termes des deux séries (3) ne peuvent donc tendre vers zéro , ce qui est cependant une des conditions indispensables de la convergence. La série (i) est donc, dans ce cas, dii^ergente.

En second lieu , si la série (2) étant divergente ses termes décroissent indéfiniment, il n'est pas impossible quç les séries (3) soient convergentes, parce que tous, ^eurs termes ne sont pas de même signe *, on ne peut donc alors rien affirmer, en général ,• sur la convergence de la. série proposée.

sua LRS EXPRESSIONS IMACIIIAIRES. ^69

SUR LES EXPRESSIONS IMAGINAIRES. GOMMENT ON LES INTRODUIT DANS LES DONNÉES DU CALGUL.

23. La résolution des équations du deuxième degré conduit quelquefois à extraire des racmes carrées de quantités négatives. Ces sortes d'expressions ne représentent pas des nombres , soit positifs , soit négatifs *, on les désigne sons le nom de quantités imaginaires. Nous n'avons pas pour objet d'examiner ici à quelles circonstances correspondent ces fourmes dans les questions proposées; nous nous bornerons à dire qu'en substituant ces expressions à l'inconnue, Téquation que l'on avait à résoudre devient identique, pourvu que les racines carrées des quantités négatives soient traitées diaprés les règles- ordinaires de ^algèbre, et que l'on considère leur carré comme s'oblenant par la suppression du radical.

Si Ton a, par exemple, l'équation

a:^ — 2 flj? -h û' H- ^' = o, on en tire Içs deux valeurs imaginaires

et Ton peut vérifier que la substitution de celle valeur dans l'équation la réduit à o == o.

Il en serait de même si, au lieu de sl — 5', on mettait b ^ T-iy et c'est ce que l'on fait ordinairement, afin que la seule quantité imaginaire à considérer soit toujours \/ — I. Les valeurs de x se trouvent ^iiïsi mises sous la

forme

x=za-i:b sj — I,

II semble d'abord que toutes les considérations auxquelles ces sortes d'expressions peuvent donner lieu , soient relatives aux circonstances qui leur donnent naissance dans les questions dont elles présentent la solution \ mais on a trouvé de très-grands avantages à les introduire dans les données mêmes de certains calculs 9 et c'est sous ce point de vue que nous allons les considérer.

Sans attacher aucuae idée de quantité à l'expression V^ — 1 , nous convenons de la traiter de la même manière que si c'était un nombre dont les puissances successives seraient

V^— I, — f, —sf^y 4-1, v/^,...,

les quatre premières se reproduisant indéfiniment dans le même ordre.

Rien ne s'oppose à ce que Ton fasse des calculs algébriques dans lesquels y — ^ soit traité de cette manière*, il ne s'agit que de savoir s'il y a quelque intérêt à le faire, et si de pareilles opérations peuvent offrir de nouvelles ressources à l'analyse. Il pourra quelquefois être plus commode de remplacer V^ — t par une lettre dont les puissances se distinguent toutes les unes des autres , tandis que celles de y — 1 se reproduisent périodiquement. En désignant y — 1 par X, nous entendrons que X soit traité comme un facteur ordinaire , d'après toutes les règles démontrées dans le cas des quantités réelles •, seulement, après tous les calculs effectués, on remplacera les puissances

par

24. Lorsque nous poserons une équation entre des quantités réelles et imaginaires, comme

nous entendrons toujours que Ton savait d'avance que A =.A' et B = B'. Ces dernières équations ne seront jamais des conséquences de la première*, c'est, au contraire , la première qui en est la conséquence , et nous n'attacherions aucun sens à cette équation si nous ne savions , indépendamment d'elle , que les parties réelles sont égales de part et d'autre, ainsi que les coefficients

respectifs de y — i> Nous insistons sur ce point, parce que la plupart des auteurs l'eutendeut de la manière inverse.

25. Ayant bien établi de quelle manière nous traiterons l'expression v — i? nous allons montrer, par un premier exemple, l'avantage que Ton peut avoir à Tintroduire dans le calcul.

Considérons les deux expressions

ces