X -^r ^ — I sin.r, cos^- -4- V^— -i sin

et multiplions-les entre elles, dans le sens que nous attachons ici à cette opération; nous trouverons

cosa?cos/ — sinj?sinj ^-v'^ — i (sinxcosj^ + sin^*cos.r),

ces (x-4-/) 4- \/ — !sin(a:4-/).

Nous pouvons donc poser

(cosjr-4- y/— 1 sinar) (cos ;' -f- v"^ sinr) = cos(x-4-/)-f-V^^siiJ (x4-r),

puisque nous avons prouvé d'avance que les parties réelles

5^^ KOTE II.

étaient respectivement égales, ainsi que les coefficients de sf^i.

Et Ton conclut de là que pour diviser deux expressions de cette fornoie Tune par Fautre (en entendant par quotient une expression qui , multipliée par le diviseur suivant les règles convenues, reproduirait le dividende^ il suffit de retrancher l'arc qui se trouve au diviseur de celui qui entre dans le dividende.

En multipliant le produit de ces premières expressions par une troisième cosr -h ^ — i sin^, il suffira encore d'ajouter les arcs x-^y elz^ce qui donnera la nouvelle équation

(cosx-f- ^— I sinx) (cos/-h^ — i sin j) (cosz-f- ^ — i sinz) = cos(4? -h j -+- 2) 4- v^^ sin (x H- 7 -h «) ;

et il est facile de voir que , quel que soit le nombre des facteurs de cette forme , leur produit effectué donnera toujours pour partie réelle le cosinus de la somme de tous les arcs, et pour coefficient de \/— i le sinus de cette même somme. On pourra donc poser une équation semblable à la dernière , en supposant un nombre m quelconque de facteurs, puisque les parties réelles sont démontrées égales, ainsi que les parties imaginaires.

* En supposant le cas particulier où a: = / = z = . . . , on aurait la formule suivante , qui est due à M oivre :

(i) (cosx -f- sj — I sinj?)** = cos mx -f-y — i sin mx\

il est donc prouvé que , si Fou forme la puissance m du binôme cos j? 4- ^ — i sin x d'après les règles ordinaires, la partie réelle sera égale à cos mjr, et le coefficient de V— « à sinmo:. Or le développement -de la puissance /7i d'un binôme s'effectue au moyen d'une formule trèssimple; on aura donc ainsi le développement général dç

cos mx et sinnix, m étant un nombre entier quelconque. Ces formules sont

m(m — i) cos 171 j: = cos" X ^ ' cos""' x sm» x