cos'^xsin
. . m(m — i)(m — 2) sm ma: = m cos"*"' jrsm x ^ ^-^^r cos*'^'j: sin*-c 4* . . . •
On peut observer que le développement de.
(cosx — ■ ^— I sin *}"
ne différerait de celui 3e
(cosx-f- ^ — I sinx)*
que par le signe des termes où se trouvent les puissances impaires de V^ — i, et que, par conséquent,
(cosx — ^ — I sitLx)r = cos mx — y — i sin mx.
26. En entendant par racine n*''"* d'une expression imaginaire une autre expression qui , élevée à la puissance n^ suivant le sens convenu, reproduirait la première, on voit que cos- ± ^ — I sin- est une racine n'**"*
de cosxdz v' — i sinx, puisque nous avons prouvé que pour élever une semblable expression à la puissance 7i**'"', il suffit de multiplier Tare par n. On a donc
(cosx±i/— 1 sinx)" == cos - ± v^— i sin - :
et si Ton élève les deux membres à la puissance p , il vient
(cosxdzv^— 'I sinx)" = cos-x± v^—i sin-x,
$74 îfOTE II.
ce qui montre que iVqualion (i) est vraie qaand m est uq uombrc fractionnaire quelconque -9 en entendant seulement parla fjuecos^.rd= V — 1 sîn^x, élevé à la puissance n , donnerait la puissance p de cosx ± \l — i sin x, et que, par conséquent, il est une des racines /i'''""de cette puissance p.
L'équation (1) est encore vraie si m est égal à un nombre négatif — n. En effet,
(cos X H- v^~ sin r)-" =. ^-=^ :- = ^—^
(cosx-H y— isinxj vcosnx+y^i sinnzj*
or diviser par cosnx-\- sj — i sin nx, c'est trouver une expression qui , multipliée par ce diviseur d'après les règles convenues, donne pour produit le diyidcnde-, ce quotient est donc oos nx — v' — -i sin nx. Donc
(cosj? -h ^^sinx)-» = cos(— /2X4- \/^sin (— /ïj:).
La formule (i) est donc vraie, quelque valeur réelle qu'ait m, en observant toutefois que si la puissance m est susceptible de plusieurs valeurs, nous avons seulement prouvé ici que le second membre en est une.
27. Nous allons résoudre maintenant la question inverse, qui consiste à développer cos'" x et sin"* x au moyen des cosinus et sinus des arcs multiples dex, m étant un nombre entier.
Pour cela , nous poserons
d'où
ou
cos X 4- \/ — 1 sin X = « ^ cosx — ^— I sin X = i' ;
- 2 cos JC = tt -4- (f
çt, par suite,
Observant maintenant que mp» = i , et que tt*-f- P'*= 2 cosAx, on aura
mm f \ Wl(»l— IJ .
2 C08 x=ico8mx-H2.mcos(m — 2)xH-2. — i cos (m— 4 ) '-+- • • • •
Si m est pair, le terme qui se trouve au milieu du dévelop-
^ m(/»— 1).. Y^ + ij
pement de (u -f- i')"' se réduit à ^^ et
forme le dernier terme du développement de 2'" cos'"ar.
Si m est impair, les deux termes du milieu sont en u et (^
de la forme
m-hi m— 1 nf — I m-hi
expressions qui se réduisent respectivement à 1/ et f', puisque ui^=i.Iue dernier terme dudéveloppemeDtde2'"co8'"j: est alors
2 \ L cos X.
On développera maintenant sin'^o:, en observant que
2 y/ — i sinx =z u — p, d'où
2« ^ y — 1 J" sin^ x =r tt"* — mu^"^ v H ^ «"•-' p» . . , ;
ce qui signifie toujours que les parties réelles sont les mêmes de part et d'autre, ainsi que les coefficients de \l — I, s'il y reste, ce qui n'arrivera que si m est impair.
avantage, c'est que les deux binômes dont la somme remplace 2 cos X $ont tels, que les puissances de chacun d'Oux s'eflfectuent immédiatement par la multiplication de Tare, * et que le produit des puissances semblables de l'un et Fautre est l'unité. Il résulte de là que la puissance w'*'"' de cos x se trouve immédiatement exprimée au moyen des cosinus des arcs multiples de x ; et il en est de même pour sin'^jc.
Usage des lignes tn'gonométn'gues pour l'extraction des racines des quantités réelles ou imaginaires.
29. Les racines de degré m d'un nombre réel positif ou négatif dt A , sont les racines de l'équation 7-qpA = o;
ces racines peuvent se ramener à celles de l'unité, en posant/ = ax, a désignant la racine n'''"^ arithmétique du nombre A 5 l'équation proposée se trouve ainsi ramenée à la suivante :
X^ZfLl = 0,
dont nous allons déterminer les m racines, qui sont toutes inégales, puisqu'il n'y a pas de commun diviseur entre le premier membre et sa dérivée. Soit d'abord
x" — i = Oy ou x^=i.
Nous pouvons représenter i par une expression de la forme cosz -h ^ — 1 sini: , dont nous savons qu'il est facile d'extraire la racine. Il suffit de poser r = 2W7r, n étant un nombre entier quelconque positif ou négatif; et l'on aura identiquement
I=C0S2«W-t-^ — I sin2«7r.
Donc r expression
. , 2nn I . 7.njz
(i) cos hv — ï sin
28. Examinons maintenant en quoi consiste l'avantage que l'emploi de \/ — i a procuré dans la recherche des développements de cos"*a: et sin^x.
Nous avons remplacé 2 cos a: par
cosx -f- V — T sinx -h cosa: — ^ — i sînx,
qui lui est identique , puisque les deux termes
V^— I sin X et — ^ — i sin a: ,
traités comme sHls représentaient des nombres , se détruisent. Et même si, au lieu de V — i? on met une quan- .tité X indéterminée, on pourra remplacer a cosx par
(cosj: -h ^sinor) H- (cosjT — Xsino?); ^
et quelque calcul que l'on effectue sur cette expression , le résultat sera nécessairement indépendant de X , et les puissances d*un même degré quelconque de cette lettre auront zéro pour coefficient. Or prendre seulement les termes réels du résultat, c'est négliger les puissances impaires de X et ne conserver que les puissances paires , ce qui est permis puisque les coefficients de chaque puissance de X sont nuls. Mais quand on remplacera X' par — I , il pourra y avoir des réductions entre les termes cpirespondants à des puissances différentes de X , et notamment avec ceux qui ne renfermaient pas X, et qui sont précisément ceux que Ton trouverait en ne transformant pas d'abord 2.cosa\ Il peut donc résulter de là de nouvelles combinaisons qui, sans altérer la valeur du résultat, lui donnent une forme plus commode. Cela revient à ajouter au résultat des quantités qui se détruisent : mais à chaque instant, dans Falgèbre, on voit de pareils artifices faciliter les transformations; et ce qui fait que, dans le cas actuel , on en relire réellement un très -grand
58o NOTE II.
