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C'est précisément à cette occasion qu'Archîmède a trouvé la formule de la somme des termes d'une progression. Nous n'aclièverons pas la solution comme Archimède; mais, d'après le principe des limites, nous nous bornerons à prendre la limite de la somme des termes de cette progression, et nous aurons ainsi la valeur exacte de la limite de la somme des triangles, c'est-à-dire la valeur du segment parabolique. Cette limite est

|asb ou ^AA'BB'.

On peut remarquer que les deux parties ASC , CSB du segment sont équivalentes 5 car elles sont les limites de sommes de triangles respectivement équivalents. Ainsi la

surface SDBC est égale à - SCBB'-

23. Cercle considéré comme limite d'une série, — Euclide inscrit d'abord un carré dans le cercle, puis il joint les milieux des quatre arcs aux extrémités des côtés, et ajoute ainsi quatre triangles au carré, d'où résulte un octogone régulier inscrit. 11 joint ensuite les milieux des nouveaux arcs aux extrémités des côtés de cet octogone, ce qui ajoute buit nouveaux triangles et donne le polygone régulier de seize côtés ; et il continue ainsi indéfiniment. Or il est facile de voir que la série dont les termes seraient les sommes successives des triangles de même ordre a pour limite l'aire du cercle. En effet, soient AB [fie' ^) ^^* ^^^^ à! MU polygone régulier quelconque , OM le milieu de l'arc sous-tendu et I le milieu du côté. Le

DKS QUANTITES CORSIUÉmÉES GOMME LIMITKS. 33

triangle AMB est plus grand que la moitié du segment AMB 5 car il est moitié du rectangle ayant pour base AB et pour hauteur MI, e% dont le segment n'est qu'une partie. Donc les triangles que l'on ajoute à un polygone régulier inscrit, en doublant le nombre de ses côtés, forment plus de la moitié de la différence de ce polygone au cercle. Si donc on part du carré inscrit, qui est plus grand que la moitié du cercle même, puisqu'il est la moitié du carré circonscrit, il s'ensuit qu^en enlevant du cercle le carré et les divers ordres de triangles successifs, on prend d'abord plus.de la moitié du cercle, ensuite plus de là moitié du reste, et ainsi de suite indéfiniment. C'est ainsi qu'Euclide arrive à la conséquence que la somme des segments qui constituent la différence des polygones au cercle peut devenir moindre que toute quantité donnée ; et que, par conséquent, en employant notre langage, le cercle est la limite de polygones réguliers inscrits dont le nombre des côtés augmente indéfiniment.

24. On pourrait bien arriver à cette même conséquence en considérant immédiatement les polygones inscrits sans s'occuper des triangles qui s'y ajoutent pour former le polygone suivant. On remarquera même que le premier procédé suppose que le nombre des côtés va toujours en se doublant; ce qui n'est pas nécessaire à l'exactitude de la proposition. Mais il faudrait alors considérer en même temps des polygones circonscrits semblables, et prouver que la différence des aire» de deux polygones semblables, l'uii inscrit, l'autre circonscrit au cercle, peut devenir moindre que toute quantité donnée ; et la différence du cercle à l'un ou l'autre de ces deux polygones étant moindre que cette même quantité , il s'ensuivrait que lé cercle serait la limite des aires des polygones réguliers inscrits ou circonscrits dont le nombre des côtés I. 3

augmenie indéfiniment. Nous n'entrerons pas davantage dans ces détails qui n'offrent aucune difficulté.

25. On voit que c'est aux anciens géomètres qu'on doit ridée de considérer les grandeurs comme limites de séries \ soit pour calculer la grandeur cherchée, en déterminant la limite de la série, comme Archimède l'a fait, par exemple, pour Taire de la parabole ^ soit simplement pour employer les termes plus simples de la série dans la comparaison de la grandeur avec une autre, comme Kuclide Ta fait pour deux pyramides triangulaires. Les modernes sont allés beaucoup plus loin sans doute dans cette voie; mais il ne faut pas oublier que le premier pas était fait et, de plus, que c'est à Archimède qu'on doit les formules pour la sommation, d'autres séries importantes que les progressions géométriques, savoir la suite des carrés des nombres naturels et celle des sinus d'arcs en progression par différence.