CHAPITRE VI

DES GRANDEURS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE SOMMES d'infiniment PETITS.

26. Une des conceptions les plus importantes dans la mesure des grandeurs , est celle par laquelle on les considère comme limites de sommes de quantités d'espèce plus simple , qui tendent indéfiniment vers zéro , en même temps que leur nombre augmente indéfiniment. Ces infiniment petits sont susceptibles d'une grande indétermination^ ils ne sont assujettis qu'à la condition que la différence de leur somme à la quantité proposée ait pour limite zéro. Il reste donc beaucoup de latitude dans le thoix de ces éléments, et l'on peut en profiter pour simplifier considérablement les calculs.

Le principe fondamental sur lequel se fondent ces simplifications est le suivant :

Théorème, — La limite de la somme de quantités positii^es infiniment petites n* est pas changée , lorsqu'on remplace ces quantités par d^ autres dont les rapports a\^ec elles ont respectivement pour limite V unité. Soient , en effet , les infiniment petits

dont la somme tend vers une limite à mesure que leur nombre augmente indéfiniment. Soient d'autres infinîinent petits

tels , que les rapports

aient tous pour lîmîte ruiiîté.

Or on sait que si Ton a une suite de fractions dont les dénominateurs soient positifs et les numérateurs de signes quelconques, la somme algébrique des numérateurs divisée par la somme des dénominateurs est intermédiaire entre les deux qui sont algébriquement la plus petite et la plus grande.

La fraction

p,4-PaH H-p«'

sera donc comprise entre la plus grande et la plu5 petite des précédentes, et tendra nécessairement aussi vers l'unité: d'où il résulte que les limites de son numérateur et de son dénominateur sont égales •, la somme Pi+jSt-f-Ps-f-- • •+l3« a donc la même limite que «i 4- «s + ... 4- ««• Ce qu'il fallait démontrer.

Si Tune de ces deux sommes était invariable, la limite de l'autre serait égale à la valeur constante de la première, puisque la limite de leur rapport est l'unité.

Remarque. — Si le rapport de deux éléments correspondants quelconques des deux sommes , au lieu de tendre vers l'unité , tendait vers une même limite quelconque l , le rapport des deux sommes serait compris entre deux rapports ayant / pour limite, et aurait^ par conséquent, cette même limite. Donc les limites des deux sonmoies ont précisément / pour rapport.

On voit donc que la recherche des limites de sommes d'infiniment petits peut conduire à celle des limites des rapports , que nous aurons bientôt à considérer directement. Cette dernière recherche est facilitée par un théorème analogue au précédent, et qu'il est J)on d'établir dès à présent.

27. Deuxième théorème. — La limite du rapport de deux quantités infiniment petites n^est pas changée quand on remplace ces quantités par d^ autres , qui ne leur sont pas égales , mais dont les rapports avec elles ont respectivement pour limites l'unité.

Soient, en effet, a et 6 deux quantités infiniment petites ^ a' et & d'autres quantités telles, que les limites de -^

et de ^soient égales à l'unité, et que, par suite, les limites

des rapports inverses — > ^ soient aussi égales à l'imité 5 on aura identiq)ULement

? — ?1 êl î.

Les limites de quantités égales étant égales, et la limite d'un produit étant le produit des limites, on tirera de cette identité , en désignant les limites par Fabrévia-

lion iVw., et observant que lîm. — = i et lim. — = i ,

lim.- = lim. ^.

Ce qu'il fallait démontrer.

28. On peut énoncer ces deux mêmes théorèmes d'une autre manière , au moyen de la proposition suivante :

Lorsque la limite du rapport' de deux quantités est funité, leur différence est infiniment petite par rapport à tune quelconque des deux; c'est-à-dire que le rapport ^e cette différence à Vune quelconque de ces quantités a pour limite zéro.

Et réciproquement : Si la différence de deux quantités est infiniment petite par rapport à Vune d'elles, la limite àe leur rapport est V unité.

38 LivaE I. I

Soient, eu effet, a el a' deux quantités quelconques et |

d leur différence ; on aura '

a'= a -+- ^, d où i = ~ -*- -. |

j Donc , si la limite de —, est l'unité, celle de - est zéro , '