PL CL

et réciproquement.

Si Ton avait divisé par a au lieu de a'^ on aurait prouvé

que - a pour limite zéro*, et d'ailleurs il est évident que cf ,

étant la différence de a et a', est j:;on tenue dans le plus grand une fois de plus que dans l'autre, et que, par conséquent , les rapports - ? -7 sont en même temps infiniment

petits.

On pourra donc énoncer le premier théorème de cette autre manière :

La limite du rapport de deux infiniment petits nest pas changée 9 quand on les remplace respectivement par d'autres qui en diffèrent respectivement de quantités infiniment petites par rapport à eux.

Le grand avantage que l'on retire de ces théorèmes consiste en ce qu'ils permettent souvent de négliger, dans les quantités infiniment petites , la partie qui en rend la comparaison et le calcul difficiles. Il suffit toujours que cette partie soit infiniment petite relativement à la quantité elle-même , et il n'en résulte aucune erreur dans les résultats où l'on n'a en vue que les limites des rapports ou des sommes de ces quantités infiniment petites.

Divers ordres (t infiniment petits .

29. Si Ton considère plusieurs infiniment petits dépendant les uns des autres, de telle sorte que, l'un étant déter-

DES QUANTITES COlfSlOSÈÉES COMMB LIMITES. 89

mille, tous les autres le soient, et que Ton en prenne un en particulier pour y rapporter tous les autres , on appellera infiniment petits du premier ordre ceux dont les rapports avec celui-là auront des limites finies -, infiniment petits du second ordre, ceux dont les rapports avec le même infiniment petit principal seront des infiniment petits du premier ordre ; et en général infiniment petits de Tordre w, ceux dont les rapports avec l'infiniment petit principal seront des infiniment petits de l'ordre n — i .

Lorsque l'on veut exprimer seulement que le rapport d'un infiniment petit à un autre a pour limite zéro , on dit que le premier est infiniment petit par rapport au second.

Cela posé, il est tràs-facile d'exprimer au moyen de Tinfiniment petit principal , ceux de tous les ordres différents. En effet, désignons le premier par a, et par |3 un infiniment petit du premier ordre dont la limite du rapport avec a soit K.j on aura

^ = K4-«, d'où p = a(K-f-w),

Cl) tendant vers zéro en même temps que a.

L'expression de tout infiniment petit du premier ordre sera donc de la forme

o) étant infiniment petit, et K fini.

Soit maintenant y un infiniment petit du second ordre ,

le rapport - devant être du premier ordre ; on aura

et, par conséquent, la forme de tout infiniment petit du

4o iiTmc I.

second ordre sera i

En continuant ainsi , il est facile de voir que la forme i

générale des infiniment peths de Tordre n est

K étant fini , et cd infiniment petit.

Mais il y a souvent lieu de considérer des infiniment petits dont le rapport avec une puissance fractionnaire de ûc a une limite finie; et Ton est convenu d'appeler

infiniment petit de l'ordre - celui dont le rapport avec

ot'f a une limite finie : la formule qui représentera les quantités de cet ordre sera donc

DES QUANTITKS GOlfSlDE&ÉES COMME UMITES. ^l