CHAPITRE VII

comment les aires des courbes planes peuvent

être considérées comme limites de sommes

d'infiniment petits.

30. Sommes de parallélogrammes infiniment petits. — Considérons une surface plane limitée par des arcs de courbes quelconques^ divisons-la par un système de parallèles dont les distances soient dans des rapports arbitraires, mais tendent toutes vers zéro. La somme des aires comprises entre ces parallèles successives est toujours identique avec l'aire cherchée , et chacune de ces aires élémentaires offre la même difficulté que la proposée, puisqu'elle renferme des courbes dans son périmètre.

Mais si à chacune de ces aires élémentaires on supprime ou l'on ajoute des parties infiniment petites par rapport à ces aires respectives , et qui fassent disparaître la partie courbe de leur périmètre , la limite de la somme de ces nouvelles aires plus simples sera Faire cherchée, d'après le principe général. Le moyen le plus commode d'obtenir ce résultat consiste à mener par les extrémités de chacune des cordes des parallèles à une même direction arbitraire, terminées à la corde suivante. Soient, en effet, MN, M'N' deux parallèles consécutives quelcoi^ques : en menant par les extrémités M', N' {fig» 4) des parallèles M' H', NT à une direction choisie à volonté, on retranche les parties N'I'N, M'H'M: en menant les parallèles MH, NI par les extrémités M, N, on ajouterait, au conti^aire , les parties MHM', NN'L Or deux de ces

quatre parties sont moindres que le parallélogramme NI NT, et les deux autres moindres que le parallélogramme MHM'H', ces deux parallélogrammes sont înfîniment petits par rapport au parallélogramme M'H'N'1% qui est moindre que le segment de la courbe, car leurs rapports à M' H' NT sont les mêmes que ceux de leurs bases MH', NI' à la base HT, et ces derniers tendent vers zéro, puisque les parallèles MN, M'N' se rapprochant indéfiniment, MH' et NI' tendent vers zéro, tandis que H'I' reste fini. Il suit de là que les rapports des parallélbgrammes HH', II' au segment de la courbe ont pour limite zéro; il en est de même, à plus forte raison^ des triangles formés par les arcs MM', NN', et, par conséquent, Vaire de la courbe est la limite de la somme des parallélogrammes ayant pour bases les cordes parallèles , pour hauteurs leurs distances, et pouv^ant être entièrement in teneurs y ou en partie extérieurs à cette aire.

On peut même remarquer qu'il n'est pas nécessaire que les sommets des parallélogrammes soient aux extrémités mêmes des cordes : il suffit qu'ils soient en des points infiniment voisins de ces extrémités; il n'est même pas nécessaire que ces parallélogrammes soient . contigus , pourvu que Fîntervalle entre deux consécutifs soit infiniment-petit par rapport aux hauteurs infiniment petites de ces parallélogrammes , car cela revient à retrancher de chaque élément une partie infiniment petite par rapport à lui-même. Cette considération générale , dont l'exactitude résulte du principe fondamental, s'applique à tout ce qui suit.

Pour abréger, nous représenterons une somme de termes ayant une même expression générale par le

signe y^ suivi de celte expression. Ainsi, u désignant

une corde quelconque et a la dislance de deux cordes

DES QUAIVTlTiS C01ISID£EKES COMME LIMITES. 4^

consécutives, y^ uct représentera la somme des aires des

parallélogrammes variables, et lim. ^tia représentera la limite de leur somme , ou l'aire de la courbe.

31 . Sommes de trapèzes infiniment petits. — Au lieu de supposer les lignes MH, M'H', NI, NI' parallèles à une direction fixe, on pourrait les mener dans des directions différentes les unes des autres, et variables d'une manière arbitraire d'une trancbe à Tautre : il suflSt qu'elles fassent toujours un angle fini avec les cordes. En effet, la fi§[ure NINT deviendra un trapèze dont les bases N'I, NI' seront infiniment petites , puisque les lignes NT, NI font avec MN des angles finis , et que la hauteur du trapèze est infiniment petite \ la mesure de ce trapèze a donc UQ rapport infiniment petit avec celle du trapèze intérieur M'H'NT et, par conséquent , avec le segment même de la courbe. Il en serait de même du trapèze MHM'H', Si donc, au lieu de ce segment, on prend un des trapèzes ayant pour base MN , M'N', MI' ou NH', on ne fait qu'ajouter ou retrancher à l'élément exact de l'aire cherchée, une quantité infiniment petite par rapport à cet élément, et la limite de la somme de ces trapèzes sera précisément égale à la somme des éléments exacts de cette aire ou à cette aire elle-même.

Le cas le plus simple est celui des trapèzes inscrits dans le segment : les côtés non parallèles sont alors les cordes MM', NN'. Il peut aussi être quelquefois utile de faire concourir toutes les lignes MH, M' H', NI, NT vers un même point; et c'est ce qu'a fait Archimède dans une (le ses méthodes pour la quadrature de la parabole.