Sommes de secteurs infiniment petits, — Il n'est

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pas nécessaire de supposer parallèles les cordes qui divisent l'aire en éléments infiniment petits. On peut assujettir leurs directions à une loi quelconque, suivant les circonstances; la seule condition nécessaire est de n'ajouter ou retrancher à chaque élément exact qu'une quantité infiniment petite par rapport à lui.

Une des lois les plus simples est celle qui fait passer toutes les cordes par un même point. Soient O ce point {fig. 5 ) et OM, OM'deux sécantes faisant entre elles un angle infiniment petit-, la somme des éléments OM'M est identique avec Faire cherchée, si le point O est dans son intérieur, et cette aire sera la limite de la somme des aires que Ton obtiendra en ajoutant ou retranchant à chacun de ces éléments une quantité infiniment petite par rap-> port à lui.

Cette modification des éléments exacts, et qui a toujours pour objet de les simplifier, peut être faite de bien des manières différentes. On pourrait mener par M, M', des droites dans des directions déterminées, et substituer les triangles rectilignes à Télément exact; on pourrait aussi , au lieu de lignes droites, mener des courbes arbitraires ; mais ce qui est ordinairement le plus simple, c'est de décrire des arcs de cercle ayant O pour centre , et c'est ce qu*a fait Archimède dans sa quadrature de la spirale.

Il est faqile de voir, en effet , que le rapport des deux secteurs circulaires semblables ayant pour rayons OM , OM', étant celui des carrés de ces lignes , a pour limite Tunité, et que, par conséquent, leur différence est infiniment petite par rapport à ces secteurs. Or l'un de ces secteurs est compris entièrement dans l'élément OM'M, et celui-ci est compris entièrement dans l'autre secteur; car on peut supposer l'angle O assez petit pour que les rayons vecteurs de la courbe croissent ou décroissent constamment de M en M'. Donc le rapport de chacun des deux

DES QUANTITÉS CONSID]bBKES COMME LIMITES. 4^

secteurs à rélément exact de l'aîre a aussi pour limite l'unité, et l'aire chercliée est la limite de la somme des secteurs circulaires infiniment petits, intérieurs ou extérieurs.

Si le point O n'était pas dans l'intérieur de l'aire proposée , celle-ci serait la différence de deux aires auxquelles ce point appartiendrait, et que l'on* considérerait séparément, comme on vient de le dire. On pourrait aussi prendre la différence de deux secteurs compris entre les mêmes rayons , et chercher la limite de la somme de ces différences.

Au lieu de supposer que les cordes passent par un même point, on pourrait les mener tangentes à une courbe donnée ; on pourrait les assujettir à d'autres lois encore : toutes ces généralisations n'offrent aucune difficulté quand on a bien saisi les principes précédents, et nous ne nous y arrêterons pas.