Hyperholoide de révolution, — Soit Téquation

d'une hyperbole j' = — (a:* -|- 2 ax) rapportée à son

sommet A [fig» 18). Supposons quelle tourne autour de son axe transverse, et proposons-nous de calculer le volume Y détaché par un plan perpendiculaire a Taxe

70 uvfiB I.

mené à une distance AD = d. Il est la limite de £ izy^ ol

ou de — p 2 (x* H- 2 ax) «.

Or on a, d'après le n^ 35 déjà cité plusieurs fois,

Donc

Arc)]iimède, dans la solution qu'il a donnée de ce problème, cherche le rapport du segment de Thyperboloïde au cône de même base et même hauteur, et parvient à la formule suivante , qui donne le même résultat :

Le volume du segment est à celui du cône de même base et même hauteur, comme la hauteur du segment , plus trois fois le demi-axe transverse, (est à cette même hauteur aifgmentée de Taxe transverse.

47. Remarque. — Si une surface dont l'aire est A tourne successivement autour de deux axes fixes parallèles U, V [fig* 19), situés dans son plan , les volumes engendrés auront pour différence le produit de l'aire A par la circonférence dont le rayon est la distance d des . deux axes.

En eflfet, soit une perpendiculaire quelconque QPMM' aux axes, qui coupe ceux-ci en Q, P, et la courbe en M , M'. Soient MP=a:,M'P = a:',MQ'=X,M'Q = X'; « la distance de QM' à là parallèle infiniment voisine.

Les volumes engendrés autour des deux axes sont les limites des deux sommés suivantes :

et comme on a

HBS QUAITTITis GONSIBI&BXES COMllE LIMITES. ^t

il s'ensuit

X'« — X» = :c'»— JC»H-2c/(x'— *);

donc la dîflférence des deux sonunes est 2 tt d^ (a/ — x) ex. oa2»7r£/SMM'. a.

Mais ZMM'. a a pour limite Paire A; donc la limite de la différence des deux sommes, ou la différence de leurs limites, et, par conséquent, des volumes engendrés, est 2 ff J A , comme nous l'avions annoncé.

48. Folumes engendrés par des paraboles ou hjperhohs d'ordres quelconques. — Considérons le volume engendré par la révolution autour de Taxe des x, d'une courbe représentée par l'équation^ = poc^^ dans laquelle on suppose m quelconque en valeur et en signe, et qui peut, par conséquent, représenter des paraboles ou hyperboles de tous les ordrg|k

Le volume compris entre deux plans perpendiculaires à Taxe x et correspondants aux abscisses a, a' sera la . limite de STr^'ât, a représentant une quelconque des subdivisions infiniment petites de l'intervalle a' -«- a. En substituant à / sa valeur en or, il faudra trouver îT/?* lim. 2x^a.

Or, d'après la remarque générale du n° 35 , on a, entre les limites a, a\

lim, 2a?*" a =

2/lî -+- I

Le volume cherché a donc pour mesure