TT
'^ am 4- I 2/w -h I
On l'obtient donc en divisant par 2 m H- 1 la différence des deux cylindres ayant pour bases les deux bases mêmes du solide à évaluer, et pour hauteurs les abscisses correspondantes.
Solides non de résolution, 49. Segment d^ellipsoide, — Rapportons la surface à des axes parallèles à un système de diamètres conjugues dont l'un passe par le centre de la base du segment. Px'e— nous ce dernier pour axe des a:, et pour origine l'extrémité qui appartient au segment. L'équation de l'elKpsoïde sera
z^ y"^ lax — x^
Soit AD = d [fig, 20) l'abscisse du plan de la base du segment qui est parallèle au plan YZ. Nous considérerons le volume du segment comme limite de la somme de cylindres ayant pour bases des sections parallèles à YZ et pour hauteurs les distances infiniment petites de ces plans successifs. Une quelconque de ces hauteurs s'obtiendra en multipliant la parugLa correspondante de l'axe AX par le sinus de Fangl^^ que ce diamètre AX de l'ellipsoïde fait avec le plan COB des deux autres conjugués. .L'aire de la section MPN correspondante à un X quelconque AP sera tt . MP . PN sin ç , (p étant l'angle des diamètres OB, OC. En remplaçant MP, NP par leurs valeurs en or, on trouvera pour expression d'un quelconque des cylindres élémentaires ,
sm0 s\n9 Aiax — x^) jz.
Le volume cherché V peut donc être représenté comme il suit :
TT bc ... ,. ^ITI , .
V = —^ smO sinQ).lini. > [2.ax — x^) a,
lorsque x passe àe o k d par degrés , égaux ou inégaux , rnais infiniment petits, représentés par a.
On aura encore, comme précédemment, d'après le n«35,
y[2ax-^x^)7.= — ^^ — ^
DBS QUANTITÉS CONSIOÉRÉES COMME LIMITES. 7 3
et , par conséquent ,
(i) V = ^-- ^'sinGsm®.
Si Ton suppose dz^ ia^ on aura pour expression du Yolumé entier de l'ellipsoïde ,
% rcabc sinO sin^,
ce qui peut être traduit de différentes manières, en observant que abc sind sinf mesure le volume du parallélipipède construit sur les trois demi-diamètres conjugués, et queTrfcc sino.^a sin 6 mesure le cylindre circonscrit à l'ellipsoïde, ayant les arêtes parallèles à AX, et ses bases parallèles à YZ. Une des conséquences de l'expression précédente est que ce parallélipîpède et ce cylindre ont leurs volumes constants, quel que soit le système des diamètres conjugués.
L'expression (i) comparée à celle du volume du cône ayant même base que le segment , et son sommet en A , donne un énoncé semblable à celui qu'Archimède a fait connaître dans le cas de l'ellipsoïde de révolution.
On trouverait des résultats analogues aux précédents pom* les byperbojioïdes et paraboloïdes quelconques ; nous ne croyons pas utile de nous y arrêter.
50. Onglet cylindrique. — Considérons un cylindre droit dont la base soit le cercle ABC (/ig. 21) -, par un de ses diamètres AB, menons un plan quelconque qui- coupe la surface du cylindre suivant l'ellipse ABD , et proposons^nous de calculer le volume de l'onglet compris entre ABDetACB.
Supposons le rayon OC perpendiculaire à AB5 D le point de rencontre du plan sécant et de l'arête menée en G; soient OC = R , CD = A.
^4 LIVBB I.
Suivant la méthode générale, nous regarderons le volume comme limite d'une somme de cylindres ayant pour bases un système de sections parallèles, et nous prendrons ces plans perpendiculaires à Â6.
Soit MPQ un quelconque de ces plans; faisons AP = jc, PQ = jf , on aura
r'=2Ra? — X» et MQ:/::CD:OC, d'où •
La section MQP a donc pour mesure
Si donc nous désignons par a la distance infiniment petite du plan de celte section au suivant, le volume cherché V aura pour mesure
V= -— hro.2(aRar-~arMa= — =—»
et comme aR* est le rectangle circonscrit à la base-ÂBC
de l'onglet , le volume de de dernier est égal à celui de la
pyramide qui aurait ce rectangle pour base et son sommât r»-»^ j
DES QUANTITÉS COUSIDÉ&ÉES GOMME LIMITES. 'jS
