APPUGATIONS MÉGANIQUES. DÉTERMINATION DES CENTRES DE GRAVITÉ

• SI . Nous admettons comme connue la théorie des centres de gravité enseignée dans les cours les plus élémentaires de Staticpie, et nous nous proposons de la prendre comme un nouvel exemple de l'avantage des méthodes précédentes.

La proposition dont l'application est la plus générale dans la théorie des forces pairallèles et qui découle naturellement du principe du levier, est ce qu^on nomme le théorème des moments. On appelle moment d'une force par rapport à un plan, le produit de cette force par la distance de son point d'application à ce plan. Cela posé, si l'on conçoit un système quelconque de forces parallèles , ^ l'on considère comme positives celles dont les directions sont dans l'un des sens, et comme négatives celles qui sont dans l'autre, et qu'il en soit de même pour les perpendiculaires abaissée^ sur un plan choisi arbitrairement, et dont le signe dépendra du côté où elles se trouveront par rapport au plan , le théorème des moments consiste , comme on le sait , en ce que le moment de la résultante des forces parallèles par rapport au plan est ^al à la somme algébrique des moments des composantes. Il résulte de là que les coordonnées rectilignes du point d'application de la résultante s'obtiendront en divisant par la résidtante la somme des moments des forces par rapport aux trois plans coordonnés. Ce point d'applica

^6 LivaE I.

tion de la résultante, que l'on nomme le centre des forces parallèles, devient le centre de gravité quand ces forces sont des poids ; et l'on voit aussi comment le théorème des moments peut être employé à la détermination des centres de gravité.

Nous allons faire voir comment les considérations infinitésimales s'appliquent aux surfaces planes et aux solides continus , et nous en donnerons quelques exemples pour bien faire comprendre les généralités.

Centres de grai^ité des aires planes.

52. Considérons une figure plane terminée par des droites ou des courbes quelconques, et supposons que des portions quelconques de cette figure aient des poids proportionnels à leurs aireà respectives. Admettons ce principe établi dans là statique, que toute partie terminée par un contour convexe , c'est-à-dire qui n'a pas trois points en ligne droite, a son centre de gravité dans son intérieur. Admettons encore que le centre de gravité d'un parallélogramme est le point de rencontre de ses diagonales. Avec ces données , la recherche du centre de gravité d'une surface plane quelconque se ramène aux méthodes exposées précédemment

En effet , prenons deux axes tte coordonnées x , y dans le plan de la surface. Le centre de gravité étant le point d'application de la résultante de toutes. les forces appliquées à tous. les points de la surface proportionnellement aux aires, si l'on décompose la surface en un nombre quelconque de parties , et que l'on considère en tous les centres de gravité de ces parties , des forces parallèles , représentées par leurs aires respectives , et dont la résultante sera représentée par l'aire totale et appliquée au centre de gravité cherché; cette aire totale multipliée par

1>BS QUANTITES CONSÏDÉAïlsS COMME LIMITES. 'J'J

r abscisse de son centre de gravité, sera égale à la sonmie des aires partielles multipliées par les abscisses de leurs centres de gravité. Si les axes ne sont pas rectangulaires, ces produits ne sont pas les moments eux-mêmes, mais proportionnels aux moments, ce qui suffit pour l'exactitude de l'équation. Mais comme il ne serait pas plus facile de trouver les centres de gravité de toutes les parties que de la surface entière, on supposera ces parties infiniment petites*, leurs moments le seront, par suite, et par conséquent on pourra leur substituer d^autres infiniment petits, plus simples, assujettis à la seule condition que leurs rapports aient respectivement pour limite l'unité. Mais alors ce sera seulement la limite de leur somme qui sera égale au moment de la résultante et qui , par conséquent, divisée par l'aire de la figure donnée, fera connaître l'abscisse du centre de gravité.

Le mode de décomposition qui se présente de lui-même pour déterminer cette abscisse consiste dans un système de parallèles à l'axe des j^, infiniment voisines les unes des autres. Le segment compris entre deux parallèles consécutives peut toujours être considéré comme ayant son contour convexe, puisque ses deux bases sont aussi voisines qu'on voudra 5 son centre de gravité sera donc entre ces deux droites , et son abscisse différera d'une quantité infiniment petite des abscisses de chacune d'elles 5 on peut donc substituer au moment de ce segment le produit de son aire par l'abscisse de l'une ou de l'autre de ces deux parallèles à l'axe des jt] car le rapport de ce produit au moment véritable a pour limite l'unité, quand la di*ance de ces parallèles tend vers zéro. Et, par la même raison, on pourra, dans ce produit^ substituer à l'aire du segment celle du parallélogramme ayant l'une des cordes parallèles pour base et sa distance • à l'autre pour hauteur.

y8 LIVRE I.

Donc, si Ton désigne par Y et j<^ les ordonnées des deux points extrêmes de la corde qui correspond à Fabscisse quelconque x\ par a la partie de Taxe des jc interceptée entre deux cordes consécutives ; par A FaiiTe de la figure , et par Xt , /i les coordonnées inconnixes du centre de gravité, on aura, en supposant, pour plus de simplicité, les axes rectangulaires,

d'où l'on tirera Xi , si l'on peut déterminer la limite de cette somme, ainsi que^ A.

On aurait yi par un procédé analogue, en décomposant la figure au moyen d'un système de parallèles à l'axe des x. Mais on peut aussi conserver le premier mode, en remarquant que le centre de gravité d'un des éléments ne peut être qu'à une distance infiniment petite de celui du rectangle inscrit ou circonscrit , et que, par conséquent, on peut substituer au moment exact de cet

élément le produit de l'aire du rectangle par ^ ZJ^

qui est l'ordonnée du centre de ce rectangle. On aura ainsi

et «i l'on peut trouver cette limite, j^j sera déterminé.

53. Cette formule donne lieu à une remarque curieuse. Si l'on multiplie ses deux membres par 2 7r, il vient

. 2ïr/, A = lilïl. TT 2"(^' ~"^') «•

Or le second membre représent#le volume engendré par l'aire en question , tournant autour de l'axe des x. 'Le volume engendré est donc égal à Vaire de la figure génératrice, multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité.

DBS QUANTITES GONSlDiftl^ COMME LIMITBS. 79

Ce théorème porte le nom de Guldin, quoiqu'il se trouve clairement énoncé dans les ouvrages de Pappus , géomètre de Pécole d^Alexandrie.

Nous allons donner quelques exemples de ces formules.

54. Parabole ijtu second ordre. — Soit Téquation jr*= ^px et cherchons le centre de gravité du segment CAC [fig' aa) terminé à la perpendiculaire à Taxe, correspoudante à l'abscisse AP = a. Les rectangles formés par les cordes parallèles à CC ayant tous leurs centres de gravité sur l'axe, leurs moments, par rapport à cet axe, seront nuls ; la limite de leur sonmie le sera donc, et, par suite, on aura

Le centre de gravité étant sur l'axe, il suffit de connaître son abscisse x^, La formule précédente devient, dans le cas actuel,

Kxx = lim. Tijrxot. = 2 ^2^1im. 2x' a.

Mais, d'après ime formule trouvée précédemment (n^ 35) , on a, entre les limites o et a.

lin.

r.K=la^;

donc

...^^fA

Or,

en faisant BC

, on a

d'oi

t Ton déduit

8o LIVRE I.

C*est Archimède qui a découvert cette propriété, et même pour un segment de parabole déterminé par une sécante quelconque. Le calcul en serait tout à fait le même que celui que nous venons de faire pour une secante perpendiculaire à l'axe de la courbe.

55. Paraboles et hyperboles d'ordre quelconque. — Soit maintenant Téquationy = px'", dans laquelle m désigne un nombre de grandeur et de signe quelconque^ on demande le centre de gravité de la surface terminée à cette courbe, à Taxe dq^ j:, et à deux perpendiculaires à Taxe des 0?, correspondantes aux abscisses a, a'.

L'application des formules générales donnera

Aa:, =/?lim. 2x"+' a, A^, = — hm. 2ar"'a, OU

AjCi=p 5 A7=— • 1^ •

Or nous avons trouvé (n° 35)

d'où résulte

Si ni est positif, la courbe est parabolique, et si l'on fait commencer l'aire en question à l'origine, on a a = 0-5 et, en désignant par b' l'ordonnée correspondante à a',

/lî 4- 2 2(2/» 4-1) 2(a/w-+-i)

Dans, la parabole du second degré , m = - > et l'on trouve

I DES QUANTITÉS CONSIOiHKES COMME LIMITES. 8l

Si m est négatif, là courbe est hyperbolique et donne liea à une discussion intéressante à laquelle nous ne nous arrêterons pas. On reconnaîtra sans peine que , quand Tabscisse extrême a' croît sans limite, il est possible, suivant la valeur de m, que le centre de gravité s'éloigne indéfiniment de Taxe des j^, en tendant vers l'axe des x^ ou tende vers une limite déterminée.

56. Centre de gra\^ité des solides de révolution. — Le centre de gravité sera évidemment sur l'axe de révolution*, il suffira donc de connaître son abscisse. Pour la trouver, on coupera le solide par des plans infiniment voisins, perpendiculaires à Taxe de révolution que Ton prendra pour axe des x\ et en supposant les poids proportionnels aux volumes, le produit du volume total par l'abscisse Xx du centre de gravité sera égal à la somme des produits des segments compris entre deux plans consécutifs par l'a: du centre de gravité de ce segment. Pour simplifier ces produits , on substituera à ce dernier x celui d'une quelconque des bases du segment, ou même tout autre qui en différerait d'une quantité infiniment petite \ on remplacera encore le volume du segment par celui du cylindre intérieur ou extérieur. Par là on n'aura altéré le moment du segment infiniment petit du solide que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même. La limite de la somme de ces nouveaux produits sera donc égale à la somme des moments eux-mêmes, ou au prodtiit du volume total par Xx , et si Ton connaît cette limite de somme et le volume , on en déduira immédiatement Xi . Cette proposition est exprimée par la formule sui-

I vante

îim. 2 j:j'a= a:, lim. Z j'a.

57. Paraboloïde. — Si la courbe génératrice est une I parabole ayant pour équation ^' = T.px et tournant

83 Livmc I.

autour de Taxe des x, on aura, en remplaçant y par sa

valeur en x ^

lim. Z jr'a = x, liin. Zxa,

et, d'après la valeur générale de lim. Sx"&, cette é<piation se réduira à la suivante , en désignant toujours par a et a! les abscisses extrêmes,

d'où

2 a'» -+- aa' -h a}