VT
si a = o , ou a
résultat connu d'Archimède.
Le cas où Ton ferait tourner la parabole autour de sa tangente au sommet est renfermé dans le suivant.
58. (Généralisons ce résultat en prenant pour courbe génératrice celle dont l'équation est
m désignant un nombre quelconque. L'équation générale devient
lim. 2 x"""*"' et =z Xx lim. 2x*"a, ou
2IW -H 2 2/n -f- I
d'où Ton tirera Xj.
On retombe sur le cas précédent en supposant m = - > n r= o, et on retrouve
DES QUANTITES CONSIDÉBKES COMME LIMITES. 83
On aurait le cas où la parabole tourne autour de sa tangente au sommet , en supposant m = a , ce qui donne, en prenant encore a = o ,
59. Ellipsoïde, — En prenant pour équation de la courbe génératrice
Féquation qui doit donner Xx sera
[7,b^ b' \ ,. fib' b' \
lim.^x ( * -X* a = x, hm.2 l — x ^Ma.
ou
= Xi ( hm.^jra -lim.Ix'a )•
Supposons que nous considérions le volume commençaBl au sommet et terminé à Tabscissc a', nous trouverons, en substituant aux limites de sommes leurs valeurs données par la formule connue ,
Si Ton prend le demi- ellipsoïde, on a
a =z Oj et, par suite, a?, = ttA.
Le calcul se ferait d'une manière semblable pour l'Iiyperboloïde.
60. S'il s'agissait d'un solide terminé par une surface quelconque , on le décomposerait comme il a été fait pré-
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rédemment pour la mesure des volumes; on considérerait les éléments déterminés par deux séries de plans infiniment voisins , parallèles à deux des plans coordonnés , et on égalerait la somme de leurs moments par rapport à chacun des trois plans coordonnés , au moment de la résultante par rapport à ces mêmes plans. On négligerait dans chaque moment élémentaire une quantité infiniment petite par rapport à lui-même; ce qui permettrait de prendre, au lieu du volume de ce filet infiniment étroit, celui du parallélipipède intérieur ou extérieur, et le centre de gravité de ce parallélipipède au lieu de celui du filet même. Si Ton peut trouver les limites de ces trois sommes de moments prises dans toute Tétendue du corps, on obtiendra les trois coordonnées du centre de gravité de ce corps en les divisant par son volume.
On voit donc que la détermination du centre de gravité des corps terminés par des surfaces quelconques se ramène à celle délimites de sommes dMnfiniment petits.
DES QUANTITES COIfSlDBBliES COMME LIMITES. 85
