CHAPITRE XII

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE RAPPORTS d'infiniment PETITS. *

61. Le poiut de vue auc^uel les modernes ont considéré les» tangentes aux courbes, les a conduits naturellement aux rapports de quantités décroissant indéfiniment. Les anciens regardaient les tangentes comme des lignes telles, qu'à partir du point commun avec la courbe les deux branches de celle-ci se trouvaient d'un même côté delà droite 5 tandis que les modernes les ont regardées comme limites de sécantes passant par le point donné de la courbe et par un second point de la mêmie courbe, qui se rapproche indéfiniment du premier, 11 est résulté de là , coinme nous allons le montrer, que les modernes ont été conduits à la recherche de limi tes de rapports d'infiniment petits, problème dont les anciens n ont pas eu l'occasion de s'occuper.

Les points d'une courbe peuvent être rapportés à des systèmes de coordonnées très-divers, c'est-à-dire déterminés de bien des manières diflferentes par les valeurs de quantités variables. Nous allons examiner plusieurs de ces systèmes , et montrer que dans tous les cas la détermination de la tangente revient à celle de la limite du rapport de deux quantités infiniment petites, dépendant l'une de l'autre d'après les données de la question.

62. Coordonnées rectîfignes, — Soient M (Jîg- 2,3) un point donné sur une courbe rapportée à deux axes AX ,

86 LIVBE I.

AY^ AP, MP ses coordonnées or^ j -^ M^ un point de la même courbe, qui se rapproche indéâniment de M, et^ dont les coordonnées soient x-hA, j^-hA; la sécante MM' coupe Taxe des x en un point S , et la limite R de la. position de ce point déterminera la limite de la sécante, ou. la tangente. La limite de S sera connue si l'on trouve la