j ne 1 • r M'H

limite de ro : or on a la proportion -- = — — - = -r' ^ '^ PS MH n

Donc , en prenant les limites des deux membres,

d'où

Donc la détermination de la tangente à la courbe se ramène à celle de la limite du rapport de deux quantités infiniment petites qui sont les différences des coordonnées du point donné et d'un point infiniment voisin pris sur la courbe , et qui sont liées l'une à l'autre au moyen de Féquation de la courbe donnée.

Au lieu de déterminer PR ou la sous-tangente, on peut chercher l'angle de la tangente avec Taxe des .x*.

Soient 0 l'angle des axes, w l'angle cherché, m = \im. jj

: lim

jlim

lim.

on aura , par le triangle MRP ,

smo)

sin(Ô —

OÙ

m sir

lÔCOSW -

- m sin&> cosO =

sin»,

, par suite ,

tange*) :

m sinô

-h 7/1 ces Ô

DES QUANTITÉS CORSIDÉaicS COMME LIMITES. 87

et , si les axes sont rectangulaires ,

tang w = /w = lim. y

II est inutile de faire remarquer qu'il faut avoir soigneusement égard aux signes des accroissements MH, M'H, sans quoi la sécante MM' et sa limite ne seraient pas du côté où elles doivent être par rapport à MH.

63. Coordonnées polaires, — Soient O le pôle [fig» 24), OXTaxe, M un point donné sur une courbe dont on a Féquation, et dont les coordonnées sont B et r\ M' un point infiniment voisin^ h et k les accroissements de 0 et r en passant de M à M' : la tangente en M sera la limite de la sécante SMM', et peut être déterminée par la limite de l'angle OMS, qui est la même que celle de MOM', puisque la différence de ces deux angles est MOM' qui tend vers zéro. Soit w cette limite ou l'angle que fait la tangente avec OM. Décrivons de O avec OM pour rayon l'arc MH, et joignons MH^ le triangle MH M' donnera

sinHM^M MH

sinHMM'~HM''

Observons maintenant que l'angle HM'M a pour limite w^ que l'angle H a pour limite un angle droit, puisque l'angle en O du triangle isocèle HOM a pour limite zéro-, que, par conséquent, la somme des deux angles en M, M' dans le triangle MHM' a pour limite un angle droit , d'où il résulte que les limites de ces deux angles sont complémentaires. D'après cela, en égalant les limites des deux membres de l'équation précédente, on aura

sin w HM

cosw * HM'

Or on peut, d'après le principe fondamental des infini-

ment petits, remplacer HM par toute autre quantité dont le rapport avec HM ait pour limite Tunité; et on a vu, dans la Trigonométrie, que le rapport d'un arc infiniment petit à sa corde a pour limite Tunité. On peut donc remplacer la corde HM par Tare dont la valeur est rA, et Téquation précédente devient

tangw = lim. — = r Iim. - = -•

lim. T n

Le problème des tangentes, dans un système de coordonnées polaires , est donc encore ramené à la rechierche de la limite du rapport de deux infiniment petits, dépende nls l'un de l'autre, au moyen de l'équation de la courbe, et qui sont les différences des coordonnées de deux points infiniment voisins de la courbe.

64-, Troisième système de coordonnées» — Supposons maintenant les points déterminés par leurs distances à deux points fixes A, B [fig* 25) ; soient M le point où Ton veut mener la tangente, et dont les deux coordonnées seront AM = ^, BM = r'j M' un point infiniment voisin ayant pour coordonnées /' -f- A , r' -h â: 5 la tangente sera la limite de la sécante MM', et peut être déterminée , par exemple, par les angles co, w' qu'elle forme respectivement avec MA , MB.

Ayant pris MH = A, MK = k dans le sens qui convient au signe, et décrivant de A et B comme centres avec les rayons AH, MR des arcs de cercle, ils se rencontrent en M'. Si l'on joint M'H, M'K, les angles K et H auront chacun pour limites un angle droit, puisque les arcs KM', HM' tendront vers zéro-, les angles formés par MM' en M' et en M auront, par suite, des limites complémentaires^ ces limites pour les angles en M ont été désignées par o), w'.

DES QUANTITES CONSlDl&AiES COMME LIMITES. 89

Cela posé, on aura

KM sinMM^K HM sinMM^H MM'"" sinK ' MM' "" sinH ' d'où

sinMM'H sinK A sinMM'K'sïïÏH'^ï' ^

en prenant les limites des deux membres,

/ > cosw -. h

coscj' k

Les angles o), &>' de la tangente avec MA , MB sont donc

déterminés dès qu'on connaîtra Hm. - ? puisque leur somme

est connue.

Le problème des tangentes est donc encore ramené, dans ce nouveau système, à chercher la limite du rapport des différences infiniment petites des coordonnées de deux points de la courbe.

65. Au lieu de déterminer par le calcul les angles w, w', entre lesquels on a deux équations, on peut facilement construire la tangente d'après l'équation (i). En effet, si l'on prend sur MA et MB, ou sur leurs prolongements,

deux longueurs MS, MK ayant un rapport égal à lîm. j)

qu'on élève en S et R des perpendiculaires sur AM, MB, et qu'on joigne leur point de rencontre I à M, la droite IM sera la tangente, car les cosinus des angles IMS, IMR auront pour rapport

MS ,. h

-r- OU lim. ■;-

MR k

On aurait pu arriver directement à cette construction sans passer par le calcul des angles co, w', et par des con-

go LIYBB I.

sidérations qui se retrouvent souvent dans l'emploi des infiniment petits en géométrie.

Sur le rayon AM prolongé (fig- 26), prenons une quantité constante MP; menons PS parallèle à M' H jusqu'à la rencontre de MM' en S; menons ensuite SQ parallèle à,M'K; le quadrilatère MPSQ sera semblable â MHM'K,etronaura

MP:MQ ::MH :MK:: h :k,

A mesure que h et h tendent vers zéro, MQ tend donc vers la valeur finie dont le rapport à MP est la limite

de -• La sécante MM' étant toujours dans la direction de

la diagonale MS, la tangente sera la limite de cette direction, c'est-à-dire celle de la diagonale du quadrilatère limite de PMQS. Or les angles P et Q de ce quadrilatère, étant égaux respectivement à H et K, ont pour limites des angles droits. On construira donc facilement le quadrîla-

tère limite quand on connaîtra la limite de - ou de j ;

car on en déduit immédiatement la limite MR de MQ. Il suffit ensuite d'élever en P et en R des perptodiculaîres à AM, MB, et de joindre leur point de rencontre I au point M : cette dernière ligne sera la tangente. Cette construction , obtenue par des considérations différentes, ne diffère pas de la précédente.

66. Autre sjslème de coordonnées, — Supposons actuellement que les points soient déterminés par leur distance à un point fixe O (fig* 27), et une abscisse ou une ordonnée par rapport à une ligne fixe quelconque passant parO. Soient A l'origine des abscisses, AP=a7, PM=j^, OM = r^ le point quelconque M sera déterminé par x et r, ou f et r.

DKS QUANTITE GONSIDiEliBS COMMI LIMITES. gi

Cela posé, M étant un point quelconque d'un lieu, déterminé par une relation entre ces coordonnées , on demande de trouver la direction de la tangente en ce point.

Soient MK = ft, PP'= A les accroissements correspondants de r et a: pour passer à un point voisin M' du lieu, et qu'on portera dans un sens ou dans l'autre, suivant qu'ils seront positifs ou négatifs. Dans le quadrilatère MHM'K, l'angle K tendra vers un angle droit en même temps que h et h vers zéro , et la diagonale MM' vers la tangente.

Nous nous bornerons ici à l'un des procédés employés dans le cas précédent. Nous prendrons PR constant; par le point S de la sécante correspondant à l'abscisse AR , menons les droites SQ, ST parallèles à M'K, M' H : le quadrilatère MQST sera semblable à MKM'H, et la limite de la direction de sa diagonale MS sera la tangente cherchée. Or on pourra construire le quadrilatère limite si Ton connaît la limite de MQ , PR ou son égal TS étant constant; et comme on a

h TS X- "" MQ '

il s'ensuit que la limite de MQ sera connue si l'on connaît

celle du rapport -r? Soit MI la limite de MQ; comme

l'angle Q a pour limite un angle droit, le quadrilatère limite sera MIUV, et la diagonale MU la tangente. On voit qu'il suffit, pour la construire, d'élever en I une perpendiculaire à OI, et de chercher son point de rencontre U avec la perpendiculaire à OR. Si les deux coordonnées étaient /' et y^ au lieu de r et x, le même quadrilatère donnerait des résultats analogues, et la question serait toujours ramenée à trouver la limite du rapport

92 UYAS I.

des différences des coordonnées de deux points infiniment voisins du lieu.

67. Coordonnées angulaires, — Considérons encore un système où les points seraient déterminés par deux angles formés par les droites menées de ces points à deux points fixes. Soient A, B {fig- 28) ces points fixes , MA13 = a, MBA= 6 les deux angles qui déterminent la position d'un point quelconque M -, on demande de mener la tangente en M à un lieu déterminé par une relation entre a et 6. Soient A et A les accroissements positifs ou négatifs de a et 6 , quand on passe de M en M' , MP égal à* une constante arbitraire, PS parallèle à M'U, SQ parallèle à IVrKj les quadrilatères MPSQ, MUM'V seront semblables , et la tangente cherchée sera la limite de la direction de la diagonale MS. Pour la connaître, il suffit de déterminer les limites de MQ et des directions PS et QS. Quant à ces dernières, il est évident qu'elles ne sont autres que les directions de DM et AM qui sont les limites de celles de BM', AM'. Pour avoir la limite MI

de MQ , il suffit de connaître la limite du rapport -j^ qui

est égal au rapport rrrr- Or

donc

Or les angles V et U ayant pour limite Taugle AMB, on a

sinV smU

MV sin/* MU sinX MA sinV' MB sinU'

MB sinAr sinV sina sinX- ""MA sin^ sinU sine un h

sinV sinU

DSS QUANTITES COUSIDift^BS GOMME LIMITSS. gS

de plus

,. sink ,. k lim.-r— r = lim. -r»

puisque le rapport d'un angle infiniment petit à son sinus â pour limite l'unité. On a donc

,. MU sina ,. ^ MP

donc enfin le problème est encore ramené h la recherche de la limite du rapport des difierences des coordonnées de deux points infiniment voisins du lieu. Quand on l'aura trouvée, on connaîtra MI, et par les points P et I on mènera des parallèles à MA, MB, qui par leur rencontre détermineront un point de la tangente.

On pourrait procéder d'une autre manière , et calculer les angles de la tangente avec les rayons vecteurs ou les limites des angles VM'M, MM'U. On a, en effet,

sinVM^M MV sinMM^U MU sinV ~"MM'' sinU ~"MM'' d'où

sinVM^M sinV MV sinMM'U~sinUMU'

or -î— =^ a pour limite 1 5 donc, en appelant x^j les angles de la tangente MT avec MA , MB , on aura sindf ,. MV sine ,. h

= Um. rrrr = lim. y,

smj^ MU sma k

et , comme la somme x -h y est connue , le problème est

résolu dès que Ton connaît la limite du rapport -•

Dé r existence des tangentes en général. 68. Nous venons de passer en revue un assez grand

^ UYAE I.

nombre de systèmes de coordomiées, dont quelques-uns ne sont presque jamais employés , et nous avons reconnu, que, dans tous les cas, le problème des tangentes était ramené à la recherche de la limite du rapport de deux quantités infiniment petites. Le nombre des systèmes que Ton pourrait employer pour la détermination des points sur un plan est illimité , et, par les cas variés que nous avons considérés, nous avons voulu faciliter les recherches auxquelles d'autres cas peuvent donner lieu. On cherchera toujours à ramener la direction de la sécante à dépendre d'infiniment petits quelconques , dont il soit possible de calculer la limite du rapport, soit que les points du lieu soient déterminés par une équation, soit qu'on connaisse la loi de leur génération sans en avoir déduit l'équation entre les coordonnées.

Mais, avant d'aller plus loin, il est à propos de s'assurer que le problème dont nous nous occupons a généralement une solution^ c'est-à-dire qu'en tout point d'une courbe déterminée par une équation , ou par une loi de construction qui pourrait conduire à une équation entre des coordonnées de nature quelconque, il existe une tangente. En d'autres termes , il faut démontrer que lorsque deux variables dépendent Tune de l'autre , le rapport des accroissements infiniment petits correspondants de ces variables a en général une limite ^ car c'est à ce problème de calcul que nous avons ramené le problème géométrique.

Cette proposition importante peut être établie simplement, de la manière suivante.

Théorème général,

69. Soit y une fonction quelconque d'une variable x, assujettie seulement aux conditions suivantes : i*' que, lorsqu'à partir d'une valeur quelconque on donne un

DES QUANTITÉS GONSIDÉEÉCS GOMMB LmiTBS. gS

accroissement A à x, il en résulte un accroissement unique k de y, qui tende vers zéro , si l'on fait tendre h vers zéro ; a^qu'à partir de toute valeur de x on en puisse prendre une autre qui en diffère d'une quantité finie déterminée, telle que si jr varie dans le même sens dans tout r intervalle compris entre elles ^ y varie constamment dans un même sens , c'est-à-dire toujours en augmentant ou toujours en diminuant.

Cela posé , il est facile de démontrer que, sous ces conditions, pour toute valeur de x il existe une limite finie pour le rapport des accroissements infiniment petits correspondants h et kl c'est-à-dire qu'il ne peut y avoir que des valeurs exceptionnelles de x pour lesquelles ce rapport croisse ou décroisse indéfiniment.

En efiet , soient Xo , X deux valeurs de x satisfaisant aux conditions ci-dessus indiquées; yo? Y les valeurs correspondantes de y \ partageons l'intervalle X — Xo en n parties égales, que nous désignerons par /i, et soient Ai , /tj , /tj 5 • • • ? ^n les valeurs correspondantes des accroissements positifs de j, on aura

X — x^=z nhj Y — /« = X-i 4- ^2, . . . , X„ ;

d'où résulte

X — Xo

moyenne arithmétique des rapports y ? T ' * * * ' T '

quel que soit le nombre entier n.

Si maintenant on fait croître n indéfiniment, les termes de ces rapports tendront vers zéro, et leur moyenne arithmétique étant toujours égale à la quan-

g6 LIVRE I.

titë finie — ^ ^ il est impossible qu'ils tendent Cous

vers zéro, ou qu'ils croissent tous indéfiniment.

Cette conclusion , relative à l'intervalle X — x^^ pouvant être appliquée à toute partie de cet intervalle, îl s'ensuit qu'il est impossible que, dans aucun intervalle

k fini , la valeur de -r tende vers zéro ou croisse indéfinih •

ment pour toutes les valeurs àe x. Ce n'est donc que

pour des valeurs exceptionnelles et en nombre limité

que "7 peut ne pas avoir une valeur finie : ce que nous

voulions établir.