Nous avons supposé dans ce raisonnement que

=^ avait une valeur finie. En ne s'assujettissant pas

à cette condition , voyons s'il est possible que toutes les

k valeurs de -r tendent vers zéro ou croissent indéfinih

ment.

Si tous les rapports tendent vers zéro , leur moyenne y tendra nécessairement, et comme elle est constante, elle jie peut être que zéro •, donc Y — yo = o ou Y = j^o- Et comme il en sera de même si l'on considère l'intervalle entre x^ et toute autre valeur choisie entre a:^ et X , il en résulte que toutes les valeurs de jr correspondantes aux valeurs de x comprises entre x^^ et X sont égales à yo. La fonction désignée par y ne serait donc autre chose qu une constante , et l'on voit alors que non-seu-

k lement - tendra vers zéro, mais qu'il sera toujours

rigoureusement nul. Le lieu en question serait donc une droite parallèle à l'axe des a:, si a: et / sont des coordonnées rectilignes.

Si maintenant tous les rapports t croissaient Sans limites , les rapports réciproques - tendraient tous vers zéro , et le lieu représenterait une droite parallèle k Taxe des y ] auquel cas tous les rapports - seraient rigou-

k reusement nuls, et l'on dirait que les rapports ^ sont

tous infinis.

Si donc le lieu ne renferme aucune portion de ligne droite parallèle à Tùn des axes, il y aura une limite finie pour le rapport des accroissements infiniment petits correspondants hy kj à Texception peut-être de certaines valeurs particulières de a: ; et par conséquent en tous les points d'une courbe il existe en général une tangente.

Les cas exceptionnels où la limite de j serait nulle

ou infinie correspondraient, dans un système de coordonnées rectilignes, aux points où les tangentes seraient parallèles à l'un ou à Tautre des axes^ cela résulte de la

signification géométrique de la limite de j dans un

pareil système.

Dérii^ées des fondions ,