Cette limite du rapport t se nomme la dérivée de la

fonction j^ par rapport à x. Si cette fonction j^ est représentée par F [x) , on représente la dérivée par F' (x). Ainsi dorénavant la signification de cet accent sera définie, pour toute fonction F, par Téquation suivante :

lim. ^ ^ ^—^ = F' (a:).

g8 OVBE I.

En employant cette nouvelle dénomination, nous pouvons donc dire que le problème des tangentes est ramené à la détermination de la dérivée d'une des coordonnées, par rapport à l'autre ; et -que le coefficient d'inclinaison de la tangente sur Taxe des abscisses est la dérivée de l'ordonnée par rapport à l'abscisse.

Les dérivées ont beaucoup d'autres usages que la détei^ mination des tangentes ; nous nous bornerons en ce nu)ment à quelques remarques très-simples. Si nous représentons, pour abréger, par k l'accroissement de F (x), correspondant à l^croissement h donné à j:, on aura

lim. | = F'(a:),

k et par conséquent j diffère de F' (x) d'une quantité qui

tend vers zéro en même temps que h ; la désignant par o), on aura

d'où

k=ih [F {x) -^ «] := h F' [x) -h A w.

Ainsi h F' (x) ne diffère de h que d'une quantité infiniment petite par rapport k ho\x kk\ donc on pourra subsuituer h F' (x) à k toutes les fois que k sera un des termes d'un rapport ou d'une somme d'infiniment pe^ liisj dont on cherchera la limite. Remarquons que h P (x) est l'accroissement de l'oriïonnée de la tangente pour l'accroissement h de l'abscisse. Donc h co est la différence des ordonnées de la courbe et de la tangente; elle est, comme on le voit, infiniment petite par rapport à Tac*croissement même de l'ordonnée 5 et il faut remarquer que l'ordonnée peut avoir une direction arbitraire pourvu

DES QUANTITÉS COWSIDÉB^RS COMME LIMITES. qQ

que ce ne soit pas celle de la tangente elle-même, sans quoi F (x) ne serait pas une quantité finie et les formules^ précédentes ne subsisteraient plus. Il résulte de là une grande simplification, parce que la quantité w serait en général très-compliquée ; et en n^ligeant la quantité A w , il n'en résulte aucune erreur dans les limites des sommes ou des rapports.

72. La dérivée d'une fonction peut servir à reconnaître dans quel sens 'varie cette fonction à partir d une valeur quelconque de la variable dont elle dépend; ce qui est souvent utile. En effet, en désignant toujours par A et * les accroissements correspondants de ^ et F (x,) nous avons trouvé

(à étant infiniment petit en même temps que A.

Or si F' {x) n'est pas nul pour la valeur x que Ton considère , w ayant pour limite zéro , finira par être con* stamment au-dessous de F'(j:) et le facteur V{x) -h &) sera de même signe que F (x). Donc k sera de même signe que A, si r (x) est positif, et désigne contraire s'îl est négatif. Ainsi une fonction croît dans le même sens que la variable pour toutes les valeurs de x qui rendent sa dérivée positive, et en sens contraire pour celles qui la rendent n^ative.

On reconnaît encore facilement que de deux fonctions, celle-là croit le plus rapidement dont la dérivée est la plus grande.

En effet , soient les deux fonctions F (x)^ /{x)- k et l leurs accroissements correspondants à laccroissemcnt A de JC] on aura

lOO LIVRE 1.

Cl) et 0)' élant infiniment petits avec h. On tire de là

A-/=:A[F'(x)-/'(ar)-f w — «'],

et puisque Ton suppose F'( x) ety*' (x) inégales , le second membre finira par être de même signe que

Ainsi en supposant, par exemple, h positif, on aura

/•>/ si F'(a:)>/'(j:).

Donc la fonction qui augmente le plus rapidement avec

a:. est c^le dont la dérivée^ par rapport à x, a la plus

grande valeur.

Y— Y 73. Nous avons vu que le rapport fixe = — =^ était tou-

A —~ Xq

jours compris entre le plus petit et le plus grand des rap-

ports -j quelque près qu'ils soient de leurs limites, et,

par conséquent , que ce rapport fixe était conipris entre la plus petite et la plus grande de ces limites, qui sont les différentes valeurs que prend la dérivée F'(x) quand x passe de Xq à X. Si donc la fonction F' (x) est continue, c'est-4-dire si elle ne peut passer d'une valeur à une autre qu'en passant par toutes les intermédiaires, il y aura entre Xo et X une certaine valeur dex qui rendra F' (x) égal

à la quantité intermédiaire * Désignant cette valeur de X par jTi, on aura ainsi

X — Xg

F(x.)> ou Y-J^,=:(X-Xo)F'.(x.),

ce qui revient à dire qu'entre les points de la courbe dont les coordonnées sont Xe, jtq et X , Y, il en existe un où la

DBS QUANTITÉS GONSIoiaisS COMMB LIVITIt. lOl

taDgente est parallèle à la corde qui joint les points extrêmes.

Remarque. — Cette fonnule présente évidemment cette proposition importante démontrée tout à Theure, et que nous énoncerons spécialement :

Une expression dont la dénuée par rapport, à x est nulle, quel que soit x, est nécessairement constante, c'est-à-dire indépendante de x.

74. L'équation t = F' [x) ■+- w démontrée, quelle que soit la fonction F, peut se mettre sous la forme

M désignant une fonction finie de x et de h qui tend vers F' (a:) quand h tend vers zéro.

Si , dans cette fonction M , on changeait x en x-^hi^ elle subirait un accroissement qui, diaprés la proposition générale, serait de la forme Mi Ai , M| désignant une fonction de x, A et Al qui reste finie, quelque petits que soient h et &!• Si Ton désigne par ki Taccroissement que subit alors k^ on aura *

A*! ^ Ml hhi»

Si de même on change x enx-h ht dans M^ , il croîtra d^une quantité de la forme Mt A| , Mt étant une quantité finie dépendante de a: , A , Ai , A, ; désignant par kt Faccroissement de âT] , on aura ainsi

^2 =: Ms hhi A,.

Et Ton pourrait continuer de même indéfiniment.

Si l'on suppose que les accroissements successifs donnés

à X soi en l égaux, on aura

et ainsi de suite indéfiniment.

On arriverait ainsi à cette proposition générale :

Un accroissement d'an ordre quelconque d'une fonction, correspondant à un accroissement constant à chaque opération,^ et infiniment petit du premier ordre, de la i;ariable dont elle dépend^ est un infiniment petit d^un ordre égal au nombre de ces opérations,

75. Ces accroissements de différents ordres peuvent facilement être représentés géométriquement par la considération de la courbe dont x ^\. y seraient les coordonnées.

Soient M {fig- 29) yn quelconque de ses points,