M'H = >?, IH'=M'H

Mais M'' H' n'est autre chose que l'accroissement de j^ en partant de x-j- A; donc il est ce que devient h quand on y change j: en x-h A , et , par conséquent, M'' H' — M' H ou — IM" sera l'accroissement [de A^, que nous avops désigné par /il .

Si l'on pf plongeait maintenant M'M'' jusqu'à l'ordonnée suivante, on aurait une ligne correspondante à IM'% qui serait la valeur de h^ , dans laquelle on changerait x en a: -h A , puisqu'on ferait les mêmes opérations en partant de M', que l'on avait faites en partant de M. On aurait donc l'accroissement de Ati ou At,, en retranchant ces

BES QUANTITÉS COKSlBiRiBS GOMME LIMITES. Io3

deux lignes en les affectant du signe convenable, et l'on formerait ainsi les accroissements des divers ordres successifs.

On pourrait prendre une autre représentation géométrique d'une fonction et de ses diffîrences successives A-, Ati, ktj'*. : par exemple, supposer que x représente la longueui^ de l'arc d'une courbe et y le rayon vecteur coi^ respondant, ou l'inclinaison de la tangente, ou toute autre grandeur dépendante de la longueur x de l'arc; on ferait croître l'arc par degrés égaux entre eux , et Ton considérerait les valeurs correspondantes dey sur lesquelles on ferait les opérations que nous venons d'indiquer dans le système de coordonnées rectilignes ; mais les représentations géométriques seraient beaucoup moins simples.

Du problème réciproque,

76. Dans ce qui précède , nous avons supposé que tous les points d'une courbe étaient donnés, soit par une équation, soit par un mode quelconque de génération , et nous nous proposions de trouver la tangente en un quelconque de ces points. On pourrait réciproquement se donner l'équation générale ou un mode de génération de toutes les tangentes à une courbe inconnue, et se proposer de déterminer le point de la courbe qui se trouve sur une quelconque de ces tangentes. Ce problème inverse se résoudra au moyen de la remarque suivante.

Le point de contact d'une tangente à une courbe quelconque est la limite de son point de rencontre avec une tangente infiniment voisine.

Soient, en effet, TMT' (fig. 3o) une tangente fixe, M son point de contact, M' un point de la courbe, infiniment voisin de M , UM'la tangente en M' et I son point de rencontre

avec TT. La corde MM' tend vers zéro lorsque M' tend ▼ers sa limite M, et c'est le plos grand côté du tri^ angle MIM' ; car, d'après la définition de la tangente , la sécante MM' tendant vers zéro fait avec la tangente en M ou M' un angle dont la limite est zéro^ F angle 1 opposé à MM^ tend donc vers deux droits , et le côlé MM', opposé au pltis grand angle, est le plus grand du triangle. La distante IM , plus petite que MM', tend donc vers zéro ; et, par conséquent, le point fixe M est la limite du point de rencontre I de la tangente en M avec une tangente infini-^ment voisine.

De là résulte la solution du problème, qui consiste à déduire tous les points d'une courbe de la connaissance de toutes ses tangentes. Pour cela , on considérera l'une quelconque de ces dernières , et Ton cherchera sa rencontre avec une tangente voisine diaprés les équations connues de ces lignes, ou d'après la loi donnée de leur construction ^ Qu déterminera la limite de ce point lorsque la seconde tangente s'approche indéfiniment de la première^ on connaîtra ainsi le point de la courbe qui se trouve sur une tangente quelconque : le problème revient donc alors à une rechercl^e ordinaire dp lieu géométrique.

Il est bien certain que, si Ton admet qu'il y ait une courbe tangente au système des lignes données, on la trouvera par le procédé que nous venons d'indiquer. Mais, si Texistence de cette courbe n'était pas admise, il est facile de reconnaître que celle que l'on obtient sera effectivement tangente à toutes les droites du système qui auront des points communs avec elle. En effet, considérons deux de ces droites telles, que dans le passage continu de l'une à l'autre chacune rencontre toujours celle qui suit, quelque voisine qu'elle en soit; faisons passer une courbç par tous les points de rencontre successifs de chacune

* DBS QUANTITÉS CORSIDilStS COMME LIMITES. Io5

d'elles et de celle qui la suit \ cela peut se faire d'une infinité de manières : il suffira que la forme d'équation choisie renferme assez de constantes indéterminées. Or chaque droite est coupée par celle qui la précède et par celle qui la suit en deux points qui sont d'autant plus près du point du lieu limite , que les droites sont plus voisines ^ la distance de ces deux points ou la corde interceptée par la . droite dans la courbe variable peut donc devenir moindre que toute grandeur donnée , et , par conséquent , les droites du système sont aussi voisines qu'on voudra d'être tangentes à la courbe variable. Donc enfin la limite de cette dernière , ou le lieu des points limites est tangent à toutes les droites.

Cette proposition est un cas particulier d'une plus générale que nous traiterons avec plus de détail par la suite.

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