TP = ^= 2X
DES QUANTITlte GONSiDiBÉSS COMME LIMITES. lO^
La sous-tangente est donc double de Tabçcisse du point
de contact ; ce qui donne une construction très-simple de
la tangente.
Si au lieu de la sous-tangente on cherche Tangle MTX ,
on aura
k p UngMTX = lim. -r = -•
De sorte que si l'on prend PN == p , l'angle cherché sera %al à PMN; la tangente sera donc perpendiculaire à MN. Cette dernière ligne est donc la normale, et la sous-normale est constante et égale k p] ce qui donne une construction simple de la normale et , par suite , de la tangente.
78. Supposons maintenant la parabole rapportée à sa directrice et son foyer F» Les coordonnées seront un rayon vecteur et une abscisse , et l'équation sera
rz=x -h -•
On aura alors k=ih. et en prenant deux quantités ^ales quelconques PH, MQ , et élevant en H et Q des perpendiculaires à AX , FQ , on aura un point S de la tangente. On voit que la ligne MS partage en deux parties égales Tangle de FQ avec une parallèle MI à Taxe, vu Tégalité des deux triangles SMQ, SMI. Cette propriété donne une autre construction fort simple de la tangente.
79. Ellipse et hyperbole. — L'ellipse rapportée à ses axes a pour équation
k Pour avoir la limite du rapport t? on remplacera x
et j par x H- ^ , J "t~ ^ j ^^ ? ^^ retranchant les deux
équations , on aura
7.0" yk -H «U'-f- 2 6»xA + 6' A' = o, et , en divisant par h ,
iia^y -4- a» ^) T -f- 2 ** J? -H ^' A = o.
Prenant les limites de tous les termes y on aura , d'aprèa le principe fondamental des limites ,
d'où
la^y lim.-T + 2è'x = o;
liin.^ = ~ — = tang«,
o> désignant l'angle de la tangente avec l'axe des x.
Le même calcul, fait en partant de l'équation de l'hyperbole a' y — i* a:' = — c^h^ ^ donnerait évidemment
tangfij = -r-*
80. Considérons maintenant l'ellipse rapportée à sea deux foyers \ son équation sera
r-t-r' = 2«, et l'on aura
Si donc on prend sur FM prolongé [fig* Sa) une quantité arbitraire MH \ que de M vers F' on prenne une quantité égale MK-, qu'en H" et K on élève des perpendiculaires à FM, F'M, et qu'on joigne leur point de rencontre S au point M, on aura la tangente à l'ellipse. Il est évident qu'elle partage l'angle HMF' des rayonsî vecteurs en deux parties égales.
DES QUANTITES CONSmiASKS COMHS LIMITES. IO9
SMl s'agissait d'une hyperbole , on aurait
on devrait donc alors porter au delà de M une longueur MK' = MH et élever en H et K' des perpendiculaires aux rayons vecteurs, puis joindre leur point de rencontre S' au point donné M, et Ton aurait la tangente. On voit qu'elle divise l'angle HMK' en deux parties égales.
Si. Exemple de coordonnées anguleUres. — Considérons maintenant le système de coordonnées où un point M [fig» 33) est déterminé par les angles a, €, que les droites menées de ce point à deux points fixes A, B forment avec AB, et prenons l'équation simple
qui représente un segment capable du supplément de a, et décrit sur la corde AB. On aura alors
et l'on devra prendre (n^^GT) deux longueurs MP, MI,
,, MP sina MB , . ..
telles* que rrrz- = -r-^ = 377 î et de construire sur elles ' ^ MI sm6 MA
un parallélogramme MPSI ; la diagonale MS sera la tangente. Or les deux triangles AMB, MIS, ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels, sont semblables; d'où il suit que l'angle IMS est égal à a , et que MSI ou TMA est égal à 6.
La tangente fait donc avec chacun des côtés MA, MB un angle égal à celui que l'autre fait avec la base AB, comme cela est évident par la mesure des angles.
82. Spirale d'Jrchimède. — Soient OX {fig. 34) la direction à partir de laquelle on compte les angles 6 ; O le
1 lO LIVRE I.
pôle, M un point quelconque de la courbe, OM = r, et a une ligne donnée 5 l'équation de cette courbe est
l'angle OMT de la tangente avec OM est donné par la formule générale
,. h tang&> = rlim. -•
Or, d'après l'équation delà spirale, on a
donc, Or) étant OMT, .
tangOMT= - = 0.
Si l'on mené la normale MN et la perpendiculaire NOT à OM, les lignes OT, ON sont, dans le système des coordonnées polaires , la sous-tangente et la sous-normale : dans le cas actuel , on aura
OT = rtangOMT = r0, ON = -^=^^
La sous-normale est donc constante , ce qui donne une construction bien simple de la normale et, par suite, de la tangente.
Le rayon vecteur OM augmentant indéfiniment avec 0, et ON restant constant, l'angle OMN tend vers zéro; le ' rayon vecteur tend donc indéfiniment à être perpendiculaire à la tangente, sans le devenir jamais.
Archimède, au lieu de la sous-normale, avait cherché la sous-tangente; il avait démontré que sa longueur était égale à l'arc de cercle MR décrit de O comme centre avec OM pour rayon, et terminé à l'axe OX, ce qui n'est autre chose que rô , comme nous l'avons trouvé.
DES QUANTITÉS COUSIDiaiES COMME OMITES. 1 I I
83. Spirale logarithmique. — L'ëquation de cette spirale est, en désignant par m une ligne donnée, et par a un nombre que nous supposerons plus grand que Tunité,
e r = nia .
£n considérant les valeurs négatives de 6 comme devant être portées en sens contraire des positives, on a une infinité de spires convergeant vers le pQint  (Jig. 35) , qu'on nomme pour cela asymptotique. Les valeurs positives de 6 donnent une infinité de spires qui s'agrandissent indéfiniment. Pour avoir Tangle AMT de la tangente avec le rayon vecteur AM, il faut chercher la limite du rapport des accroissements k et h de r et 6, et diviser r par cette limite.
*Or on a
et nous avons fait voir (n*^ 36) que la limite d'une expression de la forme ? lorsque u tend vers zéro, est r-^ •
U en résulte que lim . — 7 — = r-^ = /a, en désignant par la caractéristique / les logarithmes pris dans la base de Néper^ et, par conséquent , lim.- = ma la* On aura donc
tangAMT = r^i
ainsi tous les rayons partant de A sont également inclinés sur la spirale.
Exemple oà Von n^ emploie pas P équation de la courbe
84. Cycloïde. — D'après la génération de cette courbe, nous avons vu (n** 37) qu'il fallait, pour en avoir un
J la LIVAE I.
point quelconque M (Jig* 1 1) , prendre à partir de son origine  une longueur arbitraire AT, tracer le cercle générateur tangent en T à l'axe AB-et prendre Tare TM égal à AT. Ces deux lignes AT et TM constituent bien un système de coordonnées, dans le sens le plus général du mot, et ré€[uation de la courbe serait TM = AT ; mais les équations seraient si compliquées en l'employant pour d'autres courbes, que nous n'avons pas dû le considérer dans les méthodes générales exposées précédemment.
Nous avons vu encore que, pour passer du point M à un autre point M', il suffisait de prendre sur le cercle-TM un arc MI, mener par I une parallèle à AB et prendre IM'= MI.
Cela posé, menons les cordes MI , MM'^ la tangente en
M à la cycloïde sera la limite de la direction MM'; et*la
limite de la direction MI sera la tangente au cercle TM.
Mais dans le triangle MIM', le rapport des sinus des
M'I angles en M, M' est celui des côtés MI, IM' ou ^ ; et la
limite de ce dernier ne sera pas changée si l'on remplace la corde MI par l'arc de cercle sous-tendu, dont le rap-
port à la corde a pour limite l'unité. Mais — = i :
donc la limite du rapport des sinus de M et M' est i , et par conséquent les limites des sinus sont égales*, et comme l'angle I de ce triangle a pour limite celui de la tangente en M au cercle avec MB, il en résulte que les limites des deux angles M, M' sont égales à la moitié du supplément de ce dernier, ou à l'angle UMQ. Donc MU est la tangente, et MT la normale.
85, Conchoïde, — Supposons que d'un point donné A [fis- 36) on mène à un point quelconque M d'une courbe donnée une droite sur laquelle on porte une longueur
DES QUANTITÉS COMâlDiaiES COHMK LIMITES. Ii3
constante MN, on formera une nouyelle courbe; on propose de lui mener la tangente NU en un point quelconque N, connaissant la tangente MT au point correspondant M de la première.
Soient M', N' deux points correspondants des deux courbes, infiniment voisins de M et N ; il s'agit d'avoir la limite de la direction de la droite NN'; décrivons de A conune centre les arcs MH, NK^ comme M'K' = MN, on aura HM'= KN'. Dans les triangles rectiligiies MM' H, NN' K , les angles H, K ont pour limites des angles droits ; Tangle M' a pour limite TMA , N' a pour limite UNA , et c'est ce dernier qu'il faut déterminer.
Or on a
sinN' NK sinM' MH
d'où
sinN KN'' sinM
bi\l'
^•"^':''"Ï'::nk:mh:
sm N sin M
