AM

et passant aux limites,

langUNA : tangTMA :: AN : AM.

Connaissant tangUNA, on construira facilement la tangente NU.

Lorsque la courbe donnée se réduit à une ligne droite XY, la seconde devient celle qu'on appelle conchoïde, imaginée par Nicomède pour la construction du problème des deux mojennes proportionnelles. Dans ce cas, l'angle TMA [fig. Z'j) est XMA, et sa tangente est

— 7> AB étant perpendiculaire sur XY. La proportion précédente devient alors

tangUNA : —z :\ AN : AM :: AQ : AB;

1 l4 LIVRE I.

d'où

.angUNA=^.

Si donc on prend BE = AQ , BME sera l'angle cherché UN A.

86. Cyssoïde. — Soient AB [fig» 38) le diamètre d^un cercle donné*, BU sa tangente en B, AV une sécante quelconque partant de A 5 M son point de rencontre avec le cercle. Si Ton prend VN = AM , le Heu des points N est la cyssoïde de Diodes, que ce géomètre d'Alexandrie imagina encore pour le problème des deux moyennes.

Soit la sécante infiniment voisine AM'N'V'5 NN'" sera la sécante à la cyssoïde, et sa limite sera la tangente cherchée.

Décrivons de A comme centre les arcs de cercle M'H ^ NI, VK^ le point en passant en N' se sera éloigné de A de la qujantité KV + MH 5 puis, qu'on porte, à partir de l'extrémité V qui s'est éloignée de la quantité KV'^ une longueur moindre que AM de MH.

Dans le triangle rectiligne NIN', l'angle I tend vers un angle droit, et par conséquent les deux autres N, N'^ vers des limites complémentaires ; il en sera de même dans les triangles MM'H, NN'I, en H et K. Or on a

sinN IN^HM-HKV^ HM HM ISf H HM kW

sin N' ~ IN "" IN ' IN "" M' H* IN ~" M'h' AN ' Rr KV[ KV KV' AV IN "" KV * IN ""KV ' AN^

Considérons maintenant les triangles rectilignes M'HM^ KVV, et représentant leurs angles par la seule lettre du sommet, on aura

HiM sin M' KV sin V

M' H sin M KV sin V

DES QUANTITKS CUNSlDÉaÉBS GOMME LIMITES. I l5

Cela posé, désignons par a> la limite de Tangle N\ ou Tangle de la tangente k la cyssoïde avec son rayon vecteur AN, et par 9 l'angle MAB^ nous trouverons immé* diatement, en passant aux limites,

AM ^ û^^V^ ^ (AM-f-AV) MB cot«= — tangô-H -tango =^-—^^.,

ce qui se construira facilement.

87. Quadratrice. — Soient A (fig* Sg) le centre d'un cercle, CB un quadrant. Supposons un rayon qui se meuve uniformément de AB en AC , et une ligne qui se meuve parallèlement à AB d'un mouvement uniforme, en partanjL de cette première position en même temps que le rayon mobile et arrivant en même temps que lui en C; les intersections successives de ces deux lignes mobiles forment un lieu qu on nomme la quadratrice : elle porte le nom de Dinostrate , soit que ce géomètre Tait imaginée, soit seulement qu'il Tait appliquée à la quadrature du cercle.

Cela posé, proposons-nous de mener la tangente en un point quelconque M de cette courbe. Soit M' un point infiniment voisin, de la même courbe 5 il s'agit de trouver la limite de la direction MM', ou la limite de Fanglc M'MP. Abaissons M'I perpendiculaire sur MP. D*après la loi du mouvement angulaire de AN, et du mouvement de translation de PM, on aura la proportion