M'AM : - :: P'P : AC :: M'I : AC

M'I = M'MsinM'MI,

„sinM'AM M'M =r AM -r-

sinAM'M

ii6

LivmK I.

donc

M'I AMsîdM'MI

sinM'AM ~~ sioAM'H

Prenons les limites des deux membres. On pourra, sans changer celle du premier, remplacer le sinus par Fangle, et, d*après la première proportion, on trouye poui- 2AC

résultat

Désignons par a> la limite de Tangle M' MI, celle de AM'M sera PMN — w, et Ton aura

sin A» 2 AC

sin(PMN — a>) ttAM

Cette équation donne immédiatement la valeur de tang Gt>. Mais elle fournit aussi une construction simple de la tangente, puisque cette ligne divise Tangle connu PMN en deux parties dont le rapport des sinus est* connu et égal à celui du cercle au quart de sa circonférence. II suffit de déterminer un point dans cet angle tel , que le rapport des perpendiculaires abaissées de ce point sur les deux côtés de Tangle soit celui de deux lignes données, ce qui n'offre aucune difficulté.

La solution de ce problème dépend , comme on le voit , du rapport de la circonférence au diamètre, ou de la quadrature du cercle.

Lorsque le rayon AN a décrit un angle droit, il est évident que le point M se trouve en C ; l'angle PMN devient droit et l'équation ci-dessus devient

tang w = - >

ce qui donne la direction de la tangente en C.

Si Ton voulait connaître la position de M au moment

DES QUANTITÉS CONSIDSftiBS COMME LIMITES. I 1 7

du départ^ où les deux droites mobiles se confondent avec AB, il faudrait chercher la limite de ÂM quand l'angle NAB tendrait vers zéro. Or .on a, pour un point quelconque du lieu, en désignant Tangle NAB par 9 et AM par r,

TT sin 9

La limite de r est donc \ et, portant cette valeur

de A en S, le point S appartiendra à la cyssoïde. *

Exemples de la détermination des points d'une courbe^ par ses tangentes.

88. l^^ Exemple. — On donne deux points fixes B, C {fig. 4o) sur deux droites indéfinies AX, AY. Une droite MN se meut de manière que l'on ait constamment la proportion BM :.MA :: AN : NC. Trouver la courbe à laquelle elle est constamment tangente.

Pour cela on cherchera :

1°. La limite du point de rencontre d'une quelconque de ces droites avec les droites infiniment voisines;

2°. Le lieu de ces points limites, pour toutes les positions de MN.

1**. Soient

AC = a, AB = b, AN = u, AM = p, on aura, pour toutes les positions de MN,

à — ç ', if y, u l a — u, d*où ap -i- bu = abj et pour la position M'N', on aura

« (p ~ M' M) + ^ (« + NN') ç= «^ V

ii8 d'oàrësulie

Klf a

et le point O', limite de O, sera déterminé par la li-

. j MO

mite an rapport -— •

Si par M' on mène nne droite M'I paraUèle à AX^ la

limite de rr^ sera précisément la même qne celle de ;---

on *■ * ON

MO'* ou zrr=t : et l'on aura cette suite d*égalités

ro M'I M'I WU ub ON ~ NW ~" M'M" NN' "" p 'a Donc

MO' bu NO'^flp'

2,^. Les coordonnées x^y du point O' ainsi déterminé, satisferont aux proportions suivantes :

X i u — X y, bu : ap et

f ^- j^ : / : : jr : tt — j?, ou ly^ -f- j^x = «p.

Éliminant m et t^ entre ces deux équations et la première as^ -^ bu = ab^ on trouve pour équation du lieu

{ay — bx — aby=i ^ab^x ou

(ax — bxy — la^bxT—^ ab^x -\- a^b^ = o,

ce qui détermine une parabole tangente en B et C aux deux droites AY, AX.