X MI

y AH

As'

donc

et Ton aura Féquation entre x, j^ en éliminant AM^ A^

enire ces deux équations et la suivante AM + AX =^ m* . On trouve immédiatement

qui est Téquation du lieu demandé.

92* Il peut se faire que les considérations géométriqnc^s. soient moins commodes que le calcul algébrique , et Yoici la marche qu^il faut suivre alors.

L^équation générale des droites données renferme un paramètre qui change de Tune à Tautre. Soit ti ce paramètre; cette équation sera donc de la forme

F ety* désignant des fonctions connues.

Changeant a en a + A, on aura Téquation d'une droite voisine , qui sera

jr = xF (« H- A) -»-/(fl -f- A) ;

l'abscisse du point de rencontre sera donc donnée par l'équation suivante :

X [F {« 4- //) - F [a)\ -^/{a 4- h) -/(n) = o. Il faut maintenant faire tendre h vers zéro et chercher

DBS QUANTITÉS COVSIDKftisS COMME LIMITES. 123

la limite de X] ce sera rabscisse du point cherché , et réquation de la droite fera connaître par suite Fordonnée. Mais si on laissait l'équation sous cette forme, elle n'apprendrait rien en prenant les limites de ces deux membres , puisqu'on ne trouverait autre chose que 0=0. Le plus ordinairement il est facile de voir les réductions qui s'opèrent par les soustractions indiquées , et on reconnaît un facteur commun h à* tous les termes; en le supprimant et passant aux limites des deux membres, on obtient alors la valeur limite de x. Mais rien n'est plus facile que de formuler le résultat en général. En effet, si l'on divise par h tous les termes de la dernière équation , et qu'on prenne ensuite les limites , on trouvera , d'après la définition de la notation des dérivées des fonctions,

^F'(«)-h/'(fl) = o.

Cette équation jointe à la première^ = xF (a) -H F (a), détermine les deux coordonnées du point du lieu, et l'équation du lieu lui-même résultera de l'élimination de a entre ces deux équations. Si , pour la facilité des calculs, on ne réduisait pas à l'unité le coefficient de j^, on aurait trois fonctions, de a au lieu de deux , et l'on procéderait d'une manière tout à fait semblable.

Prenons , par exemple, le cas traité précédemment, où les droites mobiles jouissent de la propriété de déterminer sur les côtés d'un angle YAX des segments dont la somme soit égale à une constante a.

Si Ton désigne par a le segment de l'axe des x, l'autre sera a — a , et l'équation générale des droites

ay -h {a — a) X — d (a — a);

changeant a en a -f- A , il vient, en retranchant les deux équations membre à membre ,

jr/t — .r/i = ah — 2 ah — h^ ,

OU , en divisant par h ,

Cette équation, conjointement avec la première , détermine le point de rencontre qui varie avec h. On aura sa limite en supposant A = o*^ ce qui réduit la seconde équation à

/ -- xz=a — 2a,

ei l'on voit que c'est comme si Ton avait pris les dérivées par rapport à ex de tous les termes de la première.

L'éliminatiçn du paramètre a entre ces deux équations donne l'équation suivante :

qui est celle du lieu et coïncide avec celle qui a été trouvée dans le second exemple. Nous généraliserons ces théories parla suite; nous nous écarterions de notre objet en nous y arrêtant plus longtemps.

DES QUANTITÉS CONSIDÉaÉES GOMMK LIMITES. 1^5