CHAPITRE XIV

DE LA LONGUEUR DES LIGNES COURBES, ET DE L'aIRE DES SURFACES COURBES.

I eux.

93. Longueur des courbes. — La notion de longueur est une de celles qui ne sont pas susceptibles de définition \ mais , comme nous avons déjà eu plusieurs fois occasion de le dire, ce qu'il est toujours indispensable de définir, c'est Tégalité et Faddition des quantités que Ton considère, sans quoi elles ne pourraient donner lieu à aucune comparaison ni raisonnement précis.

L'égalité en géométrie se définit par la possibilité de la coïncidence. U n'y a donc aucune difficulté à se faire idée de droites égales ou d*arcs égaux dans des cercle^ de même rayon. L'addition se faisant en por|:ant les lignes à la suite les unes des autres dans des directions arbitraires, on conçoit ce que c'est qu'une ligne brisée double, triple d'une autre, et en général dans un rapport quelconque avec une autre ligne droite ou brisée. Il en est de même pour les arcs de cercles de même rayon , comparés entre

Mais quand il s'agit de lignes courbes quelconques, réalité ne peut plus exister^ la superposition étant impossible , il peut tout au plus y avoir équiy^alence* Mais qu'est-ce que deux arcs équivalents; et en particulier qu'est-ce que la longueur d'un arc de courbe rapportée à une ligne droite? La définition générale au moyen de laquelle la notion de longueur est ramenée au cas de la ligne droite, est la suivante :

La longueur d'un arc de courbe est la limite vers

laquelle tend le périmètre {Tun polygone inscrit dans cet arc, et dont les côtés tendent indéfiniment vers zéro.

Mais il faut démontrer que cette limite existe et est unique, quelle que soit la loi suivant laquelle les côtés de ce polygone tendent vers zéro. Nous pouvons supposer que l'arc soit convexe dans toute son étendue, c'est-à-dire ne puisse être coupé par une droite en plus de deux points. S'il en était autrement, on le partagerait en plusieurs parties séparément convexes : il en sera de même des polygones inscrits. Cette condition n'est nullement indispensable, mais elle facilite les raisonnements.

Cela posé, concevons d'abord qu'il n'y ait que deux cordes inscrites dans l'arc convexe que l'on considère \ puis inscrivons-en deux dans chacune des deux subdivisions de cet arc , et de même deux dans chacune des nouvelles stibdi visions , et ainsi de suite indéfiniment, de sorte que le nombre des côtés soit exprimé par la formule 2", n croissant indéfiniment. Le périmètre croîtra constamment; et comme on peut facilement assigner une quantité finie au-dessous de laquelle il reste toujours , il tendra évidemment vers une certaine limite. Il reste à dé^ montrer que tout autre mode de division de l'arc conduirait à la même limite.

Considérons, en effet, deux polygones inscrits ayant les côtés extrêmement petits , l'un appartenant à la série que nous venons de désigner, et le second correspondant à toute autre loi d'inscription ; menons des ordonnées par tous les sommets de l'un et de l'autre : les deux périmètres seront partagés par ces ordonnées en un même nombre de parties , et celles qui sont comprises entre deux ordonnées consécutives ont un rapport d'autant plus près de l'unité, que les côtés seront plus petits \ car leurs directions dii¥éreront infiniment peu de celle de la tangente voisine. D'où

DES QUANTITÉS COHSlDÉftÉES COMME LIMITES. I27

il suit que le rapport des deux périmètres tend indéfiniment vers Tunité à mesure que les côtés tendent vers zéro. La limite obtenue par le premier mode de subdivision est donc la même que pour tout autre.

11 est bon d'observer qu'on trouverait encore la même limite si les sommets du polygone n'étaient pas sur la courbe même, mais en étaient infiniment voisins, et que les côtés eussent toujours pour limites de leurs directions celles des tangentes aux points infiniment voisins. On pourrait encore considérer des polygones circonscrits à la courbe ; on pourrait même prendre une suite de lignes se* parées les unes des autres. Imaginons, par exemple, des parallèles qui coupent Tare de courbe et soient infiniment voisines les unes des autres ; si par chaque point de division on mène une tangente, la suite discontinue des portions de ces tangentes comprises entre le point de conuct et la parallèle voisine aura, d'après les raisonnements précédents , la même limite que le périmètre inscrit. Ce procédé a été employé par Fermât. On trouverait encore bien d'autres manières de parvenir à la même limite par des sommes de lignes droites; la seule condition nécessaire est que ces sommes -et les périmètres inscrits se composent d'éléments correspondants dont le rapport ait Funité pour limite.

Remàrqtje. — Tout polygone circonscrit à un arc de courbe convexe est plus grand que cet arc. Car si entre deux points de contact consécutifs quelconques on mène j une ungente , il en résultera un polygone circonscrit d'un

I périmètre moindre que le précédent. En agissant de même pour ce nouveau polygone, et ainsi de suite indéfiniment, le périmètre de ces polygones va toujours en diminuant et a pour limite la longueur de l'arc. Donc cette longueur est moindre que celle dû polygone circonscrit quelconque d'où l'on était parti. Un raisonnement analogue prouve

1^8 LIVEE I.

que la longues de l'arc est plus grande que celle de tout polygone inscrit.

Il résulte de là que tout arc convexe est moindre qu'une ligne quelconque qui Tenveloppe, en partant des mêmes extrémités. Il suffit en effet de concevoir un polygone circonscrit au premier arc et ayant les côtés assez petits pour n'avoir aucun point commun avec le second et un polygone inscrit à celui-ci et qui enveloppe le premier. Ce dernier sera moindre que celui qui Tenveloppe, comme on le prouve dans la géométrie élémentaire; donc, à plus forte raison, l'arc inscrit sera moindre que l'arc circonscrit au plus grand polygone.

On verrait de la même manière qu'une courbe convexe fermée est moindre que toute ligne qui l'enveloppe.

Voici encore une remarque qui n'est pas sans utilité. Soient ÂB (fig- 43) un arc convexe quelconque, AC une droite menée de l'extrémité A et ayant même projection AP sur une ligne AU. Si toutes les tangentes de A en 13 forment avec AU des angles aigus plus petits que CAU , la longueur AC sera plus grande que celle de l'arc AB. En effet, si l'on conçoit un polygone circonscrit à AB et dont les points de contact extrêmes soient A et B , il sera plus grand que l'arc; mais il sera plus petit que AC , car si par tous les sommets on mène des parallèles à PBC , les parties de AC comprises entre ces parallèles seront plus grandes que les côtés correspondants du polygone qui font avec AU des angles aigus plus petits-, la ligne AC est donc plus grande que l'arc AB.

On verrait semblablement que si les tangentes en tous les points de A en B, font avec AU des angles aigus plus grands que CAU, la droite AC sera plus petite que l'arc AB. Car on pourrait inscrire dans l'arc un polygone dont les côtés auraient des directions assez voisines de celles des tangentes pour que leurs angles avec AU fussent

plas grands que C'ÂU. Ce polygone serait alors pins grand que AC, et, à plus forte raison, l'arc AB le serait aussi.

94. Aire des surfaces courbes, — Nous appellerons aire d^une portion de surface courbe, la limite vers la^quelle tend celle d'un polyèdre inscrit dont les faces sont infiniment petites élans tous les sens.

n est encore nécessaire de démontrer que cette limite existe, et est unique quelle que soit la figure des faces du polyèdre et la loi de leur décroissement.

Pour cela , il faut admettre la notion du plan tangent à une surface. On démontre dans la géométrie élémeotaire que toutes les tangentes à une surface, menées par un quelconque de ses points, sont dans un même plan , et , par suite, que si par ce point et deux autres infiniment voisins pris sur la surface et non en ligne droite avçc lui, on fait passer un plan, ce plan tend vers une. limite dé* terminée à mesure que les deux points variables se rapprochent du premier 5 ce plan limite qui contient deux tangentes, et qui , par conséquent, ne diffère pas de celui qui est le lieu de toutes les tangentes, est ce qu'on nomme le plan tangent. Au reste, nous reviendrons plus tard sur ce point.

Cela «posé, concevons deux polyèdres inscrits dont les faces aient des dimensions infiniment petites , Tuu faisant partie de la première série de faces triangulaires, Tautre d'uiie série arbitraire. Si par tpns les côtés de ces deux polyèdres on abaisse des plans perpendiculaires sur un même plan fixe, 'les faces se trouveront décomposées en parties planes ayant des projections égales sur le plan fixe et qui seront, par conséquent, entre elles en raison inverse des cosinus des angles que leurs plans forment avec le plan de. projection. Mais ces plans font un très-

]3o LIVRE X.

petit angle entre eux, puisqu'ils ont des directions trèsvoisines de celle d'un même plan tangent , et la limite de leur angle est zéro 5 donc la limite du rapport de deux parties correspondantes quelconques des deux surfaces polyédriques est l'unité 5 donc si l'une des surfaces tend vers une limite , l'autre tendra vers la même.

95. Les mêmes raisonnements prouveraient que l'aîrc d'un polyèdre circonscrit dont les faces ont des dimensions tendant vers zéro a la même limite que les polyèdres inscrits. Et il n'est pas même nécessaire qu'il y ait continuité dans sa surface; on pourrait, par exemple, concevoir deux séries de plans parallèles infiniment voisins partageant la surface en parties infiniment petites dans tous les sens , puis par un point pris dans chacune de ces parties mener un plan tangent terminé aux quatre plans entre lesquels se trouve le point de contact. La surface discontinue formée par l'ensemble de ces parallélogrammes tangents aurait encore la même limite que toutes les précédentes, et l'on pourrait encore varier beaucoup la loi de ces surfaces sans cesser de trouver pour limite Taire de la surface.

Il suffit donc de démontrer qu'au moyen de l'un de ces procédés, et en suivant une loi particulière , choisie à volonté, on tendrait vers une limite déterminée , pour qu'il soit établi que tout autre procédé et toute autre loi donneraient la même limite. Or c'est ce qu'il est facile de faire voir.

En effet, concevons un plan tel, qu'en y projetant la surface donnée il ne se trouve pas deux de ses points ayant même projection , ce qui est toujours possible en partageant, s'il le faut, celte surface en plusieurs portions. Supposons ensuite une série de plans parallèles entre eux , perpendiculaires au premier et distants les uns des autres

DES QUANTITES GOlf SIDÉRÉES COMME LIMITES. l3l

d'une quantité infiniment petite a , puis une seconde série de plans parallèles , distants les uns des autres d'une quantité infiniment petite ë, perpendiculaires au premier plan de projection ainsi qu'à ceux de la première série. La surface se trouvera décomposée en parties dont la projection sera égale à aë-, et si en un point d*une de ces parties on mène le plan tangent et qu'on désigne par &> Tangle qu'il fait avec le plan de projection , la partie de ce plan comprise entre les quatre plans infiniment voi-

sins qui partent de la base aê aura pour mesure

Elle sera donc égale au volume d'un parallélipipède qui

aurait même base «6 et pour hauteur • Si donc A

* cosw

chaque point de la surface ou fait correspondre sur la

même ligne projetante un point ayant pour ordonnée

2= -9 on engendrera ainsi une seconde surface dont

cos w °

la projection sera terminée au même contour. Le volume compris entre cette surface et le cylindre qui a pour base sa projection est, comme nous l'avons vu , la limite de la somme des parallélipîpèdes zaS , dont les bases ao sont prises dans toute l'étendue de la base du cylindre 5 ce volume peut donc être représenté par lim . Z , cette

somme n'étant autre que celle qui se rapporte aux aires des parallélogrammes situés dans les* plans tangents à la surface. Donc enfin celle-ci a une limite, comme nous nous proposions de le démontrer.

La définition que nous avons donnée de Faire des surfaces courbes est donc indépendante de toute loi d'inscription ou de circonscription des faces planes , et conduit à une valeur unique et déterminée, exprimable en unités de surfaces comme les surfaces planes elles-mêmes.

^32 LIVBE I.

Il est bon de remarquer qu'où trouverait encore la même limite si , au lieu de s'assujettir à prendre des faces planes, on prenait des surfaces courbes variables telles, que, pour les points situés sur une même ligne perpendiculaire au plan fixe de projection, les plans tangents à ces surfaces et à la proposée fissent entre eux des angles infiniment petits. Car les faces planes qu'on circonscrirait à ces surfaces , auraient un rapport aussi près de Tunitë qu'on voudrait avec les parties de ces surfaces et de la proposée , correspondantes à la même projection sur le plan fixe : on trouverait donc encore la même limite pour leur somme.

Enfin on reconnaîtrait d'une manière analogue à ce qui a été fait pour les courbes , que toute surface convexe est plus petite qu'une surface qui l'enveloppe de toutes parts, ou qui l'enveloppe et est terminée au même contour.

Et de même une surface courbe est moindre qu'une surface plane ayant même projection orthogonale sur un plan, et faisant avec ce plan un angle aigu plus grand que tous ceux que font avec lui les plans tangents à la surface en tous ses points. L'inverse aurait lieu si tous ces derniers angles étaient au contraire plus grands que le premier.

96. Arcs infiniment petits, — Un arc qui tend vers zéro finit généralertient par être constamment convexe; il est donc plus petit que la somme des tangentes , menées à ses extrémités, et terminées à leur point de rencontre : d'ailleurs, il est plus grand que sa corde. Si donc on prouve que le rapport de cette corde à la somme des tangentes a pour limite l'unité, il en sera de même à plus forte raisoh du rapport de l'une ou l'autre de ces deux dernières quantités à la longueur de l'arc. Or, si du point de

DES QUANTITES COHSIDÉEKSS COMME LIMITES. l33

rencontre on abaisse une perpendiculaire sur la corde , le rapport de chacun de ses segments à la tangente correspondante étant le cosinus dVn angle infiniment petit, a pour limite T uni té- Il en est donc de même de la corde entière à la somme des tangentes. Donc,

On peut substituer à un arc infiniment petit d'une courbe quelconque, sa corde ou la somme des tangentes à ses extrémités , toutes les jois que cet arc est un terme d'un rapport ou d^une somme dont on cherche la limite.

On peut encore substituer à Tare une seule tangente à une de ses extrémités , pourvu qu'elle soit terminée à une droite passant par Fautre extrémité, et fais^ant avec la tangente un angle fini quelcouque : car celte tangente et la corde étant les deux côtés d'un triangle, et comprenant un angle qui tend vers zéro, sont dans le rapport des sinus de deux angles finis qui tendent à être supplémentaires ^ la limite de leur rapport est donc celui de deux sinus finis égaux, c'est-à-dire l'unité.

97. jÊ.rcs de cycloïde. — Donnons un exemple simple de Tapplication de ces principes^ et proposons-nous de mesurer un arc de cycloïde. Nous avons vu que la tangente au point M (fig* 1 1) est MU; soient a l'angle qu'elle fait avec DA' et MK =j^. La partie de tangente comprise entre les deux ordonnées infiniment voisines MK, M'K'

sera esale a

^ cosa

Or on a

V 2 « — Y Jjr

cosa=r — = — 9 tangflt =: "" -

\ ia y 2 a — y

Pour rentrer dans les procédés employés précédemment

i34 UYaS I.

il fauljalroduire, au lieu de 3IH, la différence M'H de deuxy consécutifs. Le triangle MM'H donne

MH = M'HiangMM'H;

et comme la corde MM' fait un angle infiniment petit

avec la tangente, l'angle MM'H diflere infiniment peix

du complément de a, et tang MM'H de cota. Si donc

on remplace MH par M' H cota, on ne Taura altéré

que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-

même; il en sera donc de même pour -^^ » et la limite

' '^ cosa

de la somme ne sera pas changée.

D'après les équations ci-dessus , on aura

M'Hcola= ^-— -j

qui 5 divisée par cosa , donne

el l'arc, pris, par exemple, depuis le sommet D, sera la limite de la somme des expressions de cette forme dans lesquelles j^ passera par degrés infiniment petits M' H, de zéro à l'ordonnée de l'extrémité de l'arc à mesurer. Supposons que M soit cette extrémité \ on aura donc

DiM==lim. v^2iï2M'H

et y d'après une formule déjà plusieurs fois appliquée, on aura , en désignant par b l'ordonnée de l'extrémité M,

DM = isl lab = 2MU.

Lors(jue le point M sera en A, on aura MU = 2«, et par

conséqueut AD =^4^^ ^^ 1^ longueur de la cycloïde eutière ÂDBsera 8a.

98. Surfaces infiniment petites, — Si roii considère une surface courbe infiniment petite dans tous les sens et que, par tous les points de son contour, on mène des lignes perpendiculaires à un même plan , il vient d'être démontré que Taire de cette portion de surface est moindre que celle de la portion du plan tangent faisant le plus grand angle aigu avec le plan de projection , et plus grande que celle du plan tangent faisant le plus petit angle, ces portions de plan étant déterminées par le cylindre projetant. Or ces deux aires planes, étant dans le rapport inverse des cosinus des angles que les deux plans tangents forment avec le plan de projection, ont pour limite de leur rapport l'unité ; donc on peut prendre Tune ou l'autre , ou toute intermédiaire au lieu de Taire de la surface infiniment petite, pourvu qu'elle soit un terme d'un rapport ou d'une somme dont on cherche la limite.

99. jipplication à une surface de réi^olution. — On coupera cette surface par des plans infiniment voisins perpendiculaires à l'axe, et à chacune des parties comprises entre deux plans consécutifs, on substituera la surface du tronc de cône engendré par la portion de tangente à la courbe génératrice, comprise entre les mêmes plans : cette substitution est permise d'après les principes précédents, parce que les plans tangents à ces deux surfaces, aux points ayant même projection, font toujours entre eux des angles infiniment petits. La surface du tronc de cône est le produit du côté par la circonférence décrite par son milieu; mais la limite de la somme ne sera pas altérée en prenant, au lieu du milieu, le point de contact lui-même qui en est infiniment voisin.

l36 LIVRE I.

Si donc on désigne par A Taire cherchée , par y l'ordonnée de la courbe génératrice , par t la partie de la tangente comprise entre deux ordonnées' infiniment voisines, on aura

A = 2ir lim. S/T.

Prenons pour exemple la cycloïde tournant autour de la tangente DA\ Nous avons trouvé tout à l'heure que la valeur de r pouvait être considérée comme égale à

-p a une quantité près inuniment petite par rap-

port à T \ donc on aura dans ce cas , en partant du sommet D,

I— j— %v\*iaY^ Il i

A = 27rhm. 2V2a^^.M'H= -^^^— ^=^\'k y S lay y

y désignant l'ordonnée de l'extrémité de l'arc générateur.

DES QUANTITES CONSIDÉAISES COMMB LIMITES. 187