CHAPITRE XIX

DÉPLACEMENT D'uNE FIGURE SUR UN PLAN. PRORLÈME DE LA ROULETTE : MÉTHODE DE DESCARTES POUR MENEB LES TANGENTES AUX COURRES QU'ELLE DÉCRIT. GÉNÉRALISATION DE .CETTE QUESTION. CENTRE INSTANTANÉ DE ROTATION.

141 . Lorsque l'on eensidère sur un plan fixe une Ggure invariable qui se élëplace d'yne manière continue, suivant une loi quelconque, un point quelconque appartenant à cette figure ou lié invariablement à elle, décrit une courbe dépendante de cette loi , et dont les géomètres du xvii^ siècle ont étudié un cas particulier. Leurs (kherclies ont fait faire des pagres à la géométrie, et le ]jroblèra€ qui en a été l'occasion a conservé beaucoup de célébrité. ïïs supposaient une courbe roulant sans glisser sur une autre supposée fixe, et ils se sont d'abord proposé démener la tangente à la courbe décrite par un point lié à celle qui se déplace. Le premier cas qu'ils ont étudié est celui du roulement d'un cercle sur une droite ; un point du cercle même décrit la courbe que nous avons nommée cycloîde^ et qu'on a d'abord appelée roulette.

Nous ne nous pfo posons pas de faire connaître les diiïérents procédés employés dans cette recherche-, nous nous bornerons à la méthode donnée par Descartes, comme la plus simple et la plus générale.

Concevons d'abord, au lieu de deux courbes, deux polygones ayant leurs côtés respectivement égaux , dont l'un soit fixe et l'autre se mruve de manière que les côtés égaux

l8o I.IVKK I.

s^appliê^uoil suaessivement les un« sur les autres. Uti poîut ^' au polygone mobile décrira une suite d'arcs de cercles dont les centres seront les sommets successifs du polygone fixe, et , par conséquent , la normale à l'un quelconque de ces arcs passera par le sommet commun aux deux polygones. Si maintenant on suppose que les côtés des polygones diminuent indéfiniment, de manière que ces polygones tendent à se confondre avec les courbes données, cette propriété de la normale en un point quelconque subsistant toujours, quelle que soît la petitesse des côtés, elle aura encore lieu pour la courbe limite de l'ensemble des arcs de cercle, ç'est-à-dire pour celle que décrit le point lié à la courbe mobile. Donc on aura la normale en un point qudlconque^e ce lieti, en le joignant au point de contact correspondant des dteux courbes. La tangente sera la perpendiculaire à cette ligne.

Telle est la méthode de Descaries. Elle s'applique à des courbes quelconques.

Mais on risquerait de se tromper si on la suivait trop loin , par exemple pour la détermiiîàtion de la courbure ; et il faut y regarder de très-près pour reconnaître que ce qui suffit pour la tangente, est insuffisant pour la courbure. C'est pourquoi nous allons reprendre la solution en mettant plus de rigueur dans les raisonnements.

142. Soient LL' ( fîg. 64) la courbe fixe 5 SS' la courbe mobile 5 M le point de contact pour une position quelconque de SS' ; A la position correspondante du point lié h SS', et qui décrit la courbe en question.

Prenons sur les deux courbes données tl eux arcs infiniment petits égaux MM', MMj 5 les points M', M, seront coïncidents quand le point de contact de.s deux courbes sera M,, puisque, d'après la définition du roulement sans glissement, les arcs qui séparent des points de contact corres-

WES QUANTITtS CONSlDÛafctJi COMMK LIMITKS. l8l

jKind^ls, pris sur les deuxcouibes, doivent èlre égaux. Pour ameuer le système mobile dans la posilion qu'il aura alors, on peut le faire mouvoir d'abord de manière que lous les points dccriveut des (ilk)ites égales el parallèles à M' M, , cje qui amèner2i*Rf en Mi 5 j^uîs, laissant le p(Ral M ' fixe eh Mi, faire tourner le système autour de ce point, de manière que la tangente en M' coïncide avec celle en M, . Dans ce dernier mouvement toutes les di^oites s'inclinerool, sur leur première direction , d^uu an§le égaPà celui des tangentes en M' el Mj , c'est-à-dire de la somme Ou de la diflerence des courbures des deux arcs MM', MM,, suivant que ces courbures seront de sens contraire ou de même sç(is. Si donc nous menoq^ f^' é^al et parallèle â M'M,, et que de^I, comfiie centre, avec un rayon égal à A'M,, qui^'est autre cbose que AM', nous décrivions un arc de cercle A'Aiilel que l'angle A'M| Ai soit égal à <eltii des tangentes en M' et Mi ; Ai sera la position exacte de A , correspondante au contact en M, : AA] sera donc la sécante au lieu décrit par A et la limite de sa direction sera la tangente cherchée.

Or les deS côtés MM', MMi da triangle rectiligoe MM' M| ayant pour limite de leur rapport Tunité, et comprenant uvj^gle infiniment petit, le troisième (TÔlé M'M, est infiniment petit par rapport aux deux autres. De ptus, Tangle des tangentes en M', Mj est généralement df prçmîer o|^re, mêftie lorsque les courbures sont dfe même sens. Son égal A' M, A, sera donc du premier ordre, et il en sera de même fie la droite A' A ,, .puisque A' M, a une longueur finie. Donc dans le triangle AA'A,, le côté AA' est infiniment petit par rapport à A' A, ; par conséquent, l'angle A» a pour limile*zéro, et la direction delii sécante AAi a la même limite que celle de A' A,. Mais relte dernière tend à faire un angle droit en A' avec la droite A' Mi iont la position limite est AM, donc enfin

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la limite de la direction AAj, ou la tangente chercUéc, est pefpendiculaire » AM.

l^xpr^sion du rayon de courbure de la courbe décrite par im point Tté à la courbe roulante,

143. Une courbe donnée U'V (fig'65) roulant sans glisser sur une courbe'fixe UV, un point IVi lie à U'V décrit une courjle dont on demande le rayon de courbure en un quelconque de ses points. « ,

Soient A le point de contact des deux courbes corres- • pondanf à une position quelconque M du point décrivant ^ O, O' les centres de courbufe ée ces courbes, qui se rgfhpoHent au point A. On sait que AM sera la notmale^ la courbe décrite par M ; nous désîgpe^îpns par n sa longueur AM, élpar (f l'angle qu'elle fait avec la normale commune OO' aux deux courbes données.*"

Prenons sur ces courbes deux ^ arcs infiniment petits égaux AN, AN'. Soit M' la position qu'aura prise M loi^sque N' sera venu s'appliquer sur N-, MN' viendra dans la position M'N; elle sera la normale en M'; le point de rencontre X de M'N et MA sera, à. la limite, le centre de courbure de la courbe en question-, et MX $era, à la limite, le rayon de courbure, que nous désignerons

V^ fi-

Danfce mouvement, qui amène N' enT^, et, pi»* suite, la tangente en N' sur la tangente en N, toutes les lignes du système se sont iBcliné^ d'un angle égal à celui de ces deux tangentes, ou de leurs perpendiculaires N'O', NO. Cet angle est 0-f-O', et peut être regardé comme ayant pour mesure