HP HM=HI

Soit N le milieu de HO , la ligne NI sera parallèle à PO^ donc l'angle I et, par suite, Fangle M sera droit-, et, par conséquent, le cercle décrit sur HN comme diamètre passera par I et M. Les deux angles MHN, AON seront égaux entre eux , comme étant Tun et l'autre égaux à IHN.

DKS QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMMK LIHITB^. 20 7

OC

Or, si Ton décrit du centre O avec un rayon OA = — un cercle qui sera tangent au cercle HMN, Tangle au centre AON aura pour mesure —^ , et l'angle MHN inscrit

dans le cercle dont le diamètre est égal à AO aura pour

MN mesure -^jr-

On aura donc égalité entre les arcs MN, AN, puisque les deux angles sont égaux.

D'où îl résulte que le point M de la caustique appartient à Tépicycloïde décri te à partir de l'origine A par un cercle dont le rayon est le quart de celui du cercle donné, roulant sur un cercle concentrique au cercle donné et d'un rayon moitié moindre.

2°. Caustique par réflexion eTune spirale logarith^ miquey en supposant le point lumineux au pôle.

Soient M, M' [fig- 78) deux points infiniment voisins pris sur la spirale; MO, M'O les normales; AM, AM' deux rayons incidents, et MX, M'X ces mêmes rayons après la réflexion.

Il faut d'abord trouver la limite du point X quand M' tend vers M.

Les angles des rayons vecteurs avec la normale étant constants, d'après la nature de la courbe, et l'angle de réflexion étant égal à celui d'incidence, on reconnaît immédiatement que les trois angles A , O, X sont égaux.

Donc les cinq points M', M , A , O, X sont sur un même cercle. La limite de ce cercle est celui qui passerait par les deux points  , M et aurait en M la même tangente que la courbe. Traçant donc ce cercle, le point I, où il coupera le rayon réfléchi , sera un point de la caustique.

Si l'on veut connaître le lieiïdes points I, il suffira de remarquer que le triangle AMI est isocèle, puisque les

!2o8 LIVRK I.

cordes MA, MI, symétriques par rapport au diamètre MO', sont égales, et que Tangle AMI est constant ^ donc le rapport de AI à AM est constant, ainsi que Tanglc lAM.

Donc les points I appartiennent à une spirale identique à la proposée, et que l'on fera coïncider avec elle en la faisant tourner autour du pôle, jusqu'à ce qu'un quelconque de ses points vienne s'appliqufer sur la spirale donnée.

De Vens^eloppe d'une courbe de foi me ins^ariable lice à une courbe qui roule sur une autre,

158. Soient HMK (fig» 79) la courbe enveloppée, M le point où elle toucte l'enveloppe UV \ H'M'K' la première courbe dans une position infiniment voisine, M' le point où elle touche l'enveloppe. Les points de contact de la courbe mobile et de UV se déplacent d'une manière continue sur cette courbe mobile; de sorte que le point M de HR est situé sur H'K' à une distance infiniment petite de M'. Ce point est donc à une distance infiniment petite du second ordre de UV, puisque la courbe H'K' est tangente à UV en M'.

D'où il résulte que le lieu décrit par le point M de la courbe mobile est tangent en Ma UV, et par conséquent à HK.

Ce qui donne le théorème suivant :

Les points oii une courbe mobile invariable touche son envefoppe, dans une quelconque de ses positions, sont ceux qui décrispent des trajectoires tangentes à la combe mobile dans la position que ton considère.

Or la trajectoire d'un point lié à la courbe roulante a sa tangente perpendiculaire à la droite qui joint le point c[ue l'on considère au centre instantané de rotation , et ce

DES QUiiNTlTES GONSlliÉREES COMME LIMITES. 2O9

centre est le point de contact de la courbe roulante avec la courbe fixe.

Donc, enfin , pour une position quelconque de la courbe mobile , on aura les points où elle touche l'enveloppe, en abaissant du point de contact de la courbe roulante toutes les normales possibles sur la courbe mobile.

Exemple. — Un cercle dont le centre est O' (yig. 80) roule sur un cercle fixe dont le centre est O 5 trouver Ten- Teloppe d'un diamètre déterminé du premier.

Soient ce une position quelconque du diamètre en question , et B le point du cercle O, avec lequel le point C a coïncidé ; les arcs AB et AC seront égaux.

Pour avoir le point de CC qui appartient à son enveloppe, il faut abaisser du point de contact A des deux cercles une perpendiculaire AI sur ÇC : I sera le point cherché.

Or, si l'on décrit un cercle. sur AO' comme diamètre, il passera par I, et l'angle AOI considéré successivement comme inscrit dans ce cercle, et comme ayant son sommet au centre du cercle roulant, aura pour mesure

arc AI arc AC

Donc Tare AI est égal a AC et par suite à AB. Le point I appartient donc à l'épi cycloïde décrite par le cercle de diamètre AO' roulant sur le cercle fixe. Cette épicycloïde est donc l'enveloppe cherchée.

Autre exemple. — Considérons maintenant l'enveloppe d'une droite de longueur constante dont les extrémités sont assujetties à rester sur deux courbes données^ on aura le point appartenant à l'enveloppe en menant d* abord les normales aux deux courbes aux extrémités de la droite*, leur point de rencontre sera le centre instantané, et il suffira d^ abaisser de ce point une perpendicu-

210 OVEK I.

laire sur la droite inscrite pour avoir le point de la courbe enveloppe.

En appliquant cette construction au cas où les deux courbes se réduisent a des droites perpendiculaires , ou retombe sur un résultat précédemment obtenu.

Rayon de courbure de Fenueloppe d'une courbe de forme invariable liée à une courbe qui roule sur une autre,

159. Soient la courbe U'V {Jig, 8i) roulant sur UV, HK la courbe liée à U'V, et H^R' son enveloppe. Soient A le point de contact de UV, U' V dans une position quelconque ,0,0' les centres de courbure de ces deux lignes , R ,R' leurs rayons de courbure, n la longueur de la normale AM abaissée de A sur HK, o T angle qu'elle fait avec la normale commune OA'O.

D'après ce qui précède , le point M appartient à l'enveloppe de HK. Pour avoir un point de cette même courbe , iniiniment voisin de M, prenons sur UV, U'V'deux arcs égaux infiniment petits AN, AN', que nous désignerons par 0), et abaissons de N' une normale N'B' sur HK. Lorsque, dans le roulement de U'V, N' sera venu coïncider avec N, le point B' de HK sera devenu le point de Tenveloppe, puisque N'B' sera alors la normale abaissée sur HK du point de contact N des deux courbes UV, U'V. Soit B la position que B' aura prise ainsi, BN sera la normale commune à l'enveloppée et à H'K'5 le point X ou elle rencontre la normale infiniment voisine a pour limite \c centre de courbure de l'enveloppe, et nous le considérerons dans nos calculs comme étant ce point même.

De même nous considérerons le point de rencontre I dos deux normales à HK aux points infiniment voisins M , B' comme étapt le rentre de courbure de HK , et nous fc-

DES QUANTITES CONSIDiniÉES GOMME LIMITES. 2 1 I

rons

MI = p', MX = p.

Cela posé, lorsque le point N sera devenu le point de contact, le système mobile aura tourne d'une quantité angulaire égale à Tangle que faisaient les deux tangentes en N, N' lorsque A était le point de contact. Cet angle, qui est le même que celui des normales NO, N'O', est égal à la

somme des angles O, O' ou à - -f- --,•

Mais, d'une autre part, la ligne N'B'I étant venue coïncider avec BNX , la quantité dont le système a tourné doit être égale à la somme des angles 1 , X •, d'où résulte

Pour évaluer les angles I , X on abaissera de A des perpendiculaires sur IN' et BX; elles auront pour valeur cocos (}>, et l'on aura, par conséquent,

W COS<p W COStf

d'où résultera l'équation

fo Oi> b> COS (f Cl) COSf

(4) i + s^=««"f(jT7 + p-ii)' ■

ce qui détermine p au moyen de R, R', p', n, (p.

On voit donc que le rayon de courbure en un point quelconque de l'enveloppe ne dépend que des rayons de courbure des trois courbes UV, U'V, HR et non de ces courbes mêmes-, de sorte que , pour cette détermina^on, on pourrait les remplacer par leurs cercles osculateurs,

correspondants à la position quelconque que Ion considère.

160. On retomberait dans le cas primitivement examiné, si Ton supposait que le rayon de courbure p' fût constamment nul , parce que la courbe HK se réduirait .alors à un point. On voit, en effet, que Téquation (4) coïncide avec l'équation (i) lorsque l'on fait p' = o. La première question n'est donc qu'un cas particulier de la seconde, et l'équation générale (4) renferme la solution de l'une et de l'autre; on pourra donc se borner à conserver cette dernière formule.

Exemple. — Appliquons la formule (4) au cas déjà examiné, où les courbes UV, U' V sont des cercles , et HK un diamètre de ce dernier.

Il faut alors supposer R, R' constants et p'= oo , ce qui réduit d'abord la formule (3) à la suivante :

d'où

Exprimant cosç au moyen de n , d'après la relation évidente /i=R'cosç, il vient

P zzz — ^ .

En comparant cette valeur à la formule générale (3) relative aux épîcycloïdes , on reconnaît, comme cela devait être, que p est le rayon de courbure d'une épicycloïde dé-

R' crâte par un point d'un cercle de rayon — roulant sur un

cercle de rayon R*

COStp

ces 7

Mesure du glissement de la courbe mobde sur son enveloppe.

161. Si l'arc MB pouvait être égal à MB', la rourbe HK roulerait sans glisser sur l'enveloppe H'K'. Cela n'est pas possible , parce que le système mobile devrait alors tourner autour du point de contact M supposé immobile, ce qui ne peut être, puisque le point A l'est lui-même. Car les vitesses de tous les points seraient nulles , si celles de deux points l'étaient -, et si toutes les vitesses étaient nulles à chaque instant, le système serait constaounent dans la même position.

Nous allons d'ailleurs reconnaître que le cakul donne des valeurs essentiellement différentes pour MB et MB'. En effet , on a

donc

MB— MB'=«cos«./^-^?^ -^ l=/i&>cosy, ^ t/r — ï

et, en vertu de l'équation (4) ,

MB— MB'=/?w (4 ~i-^/)=''(0-^■^')• C'est ainsi que M. Savary, après avoir établi la formule (4) dans ses feuilles sur les engrenages, a donné le calcul de l'arc de glissement dont la considération est indispensable dans là théorie des machines.

162. Mais nous allons montrer comment il est possible de calculer cet arc de glissement sans introduire les rayons de courbure des deux courbes qui glissent l'une sur

2l4 LIVHE I.

Tautre, et, par conséquent , sans avoir besoin de connaître la formule (4).

En effet, avant de calculer cette formule, nous avons fait voir que si l'on prenait deux arcs infiniment petits égaux AN, AN' sur UV, U'V; que de N' on abaissât une normale N 'B' sur HK , et de N une normale NB sur H'K% le point B' de la courbe mobile venait prendre la position B, lorsque N' coïncidait avec N.

Or les arcs MB', MB étant tangents, le point B' peut être considéré comme appartenant à Tare MB , en négligeant les infiniment petits du second ordre. Donc on peut prendre M' B pour la différence MB — MB', ou l'arc de glissement. Mais B'B peut aussi être regardé comme un arc de cercle décrit du centre A avec le rayon n , pendant que le système tourne de l'angle 0-f- O' pour arriver à sa seconde position.

Donc

MB — MB'= « (O -4- 0')= /2w (^ + ^y

DES QUANTITES COMSIUERKES COMME

LIMITES. 2lS