CHAPITRE XXL

CERCLE OSCULATEUR.

163. De même qu'il a été intéressant de chercher la limite de la direction suivant laquelle on passe d^un point d'une courbe à un autre infiniment voisin , et que nous avons appelé la direction même de la courbe en ce point y de même il est naturel de chercher le cercle, c'est-à-dire la ligne la plus simple après la droite , qui serait la limite de ceux qui , ayant un point donné commun avec une courbe, ont encore dans le voisinage autant de points communs avec elle que le comporte la nature du cercle. De là ce problème :

Trousser la limite des cercles qui passent par un point donné d'une courbe, et par deux autres points de la même courbe, infiniment ^voisins du premier.

Ce cercle limite se nomme cercle osculateur, SoientWi (fig. 82) un point d'une courbe quelconque, N, P deux autres de ses points infiniment voisins du premier 5 faisons passer un cercle par ses trois points. On sait que dans tout cercle un arc est égal au produit du diamètre par l'angle inscrit opposé : d'après cela, en désignant par /■ le rayon du cercle qui passe par les points M, N, P, on aura, en désignant l'arc de cercle par MP, etobservant que Tangle inscrit est égal à l'angle extérieur N,

MP

2l6 LIVRE 1.

el Ton pourrait encore prendre le rapport de la corde au sînus deN.

Maïs nous avons vu que Fangle extérieur N est égal à la moitié de la courbure 03 de l'arc MP delà courbe, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à cet angle; et d'ailleurs le rapport de l'arc de cercle MP à Tare de la courbe a pour limite l'unité, puisque leur

MP corde est la même. La limite de -— est donc la même que

ai*c filP celle de , arc MP désignant l'arc de la courbe

donnée.

Si donc on représente par R la limite de r, ou le rayon du cercle oscillateur, on aura

,. arcMP R = hni. ,

ce qui n'est autre chose que le rayon du cercle de courbure. 11 est d'ailleurs évident que ce cercle est tangent a la courbe en M, puisque la limite delà direction MN sera une tangente commune.

Le cercle asculateur se confond donc as^ec le cercle de courbure.

Remarque. — Nous devons faire ici une observation importante. Les raisonnements précédents n'imposent aucune condition à la position du point N entre M et P; elle peut diviser l'arc MP en deux parties du même ordre ou d^un ordre différent; l'angle extérieur pouvant toujours être remplacé par la moitié de la courbure de l'arc MP, on arrivera toujours au même résultat. On pourrait, par conséquent, faire coïncider M et N, c'est-à-dire mener im cercle tangent en M à la courbe, et passant pai^

le point infiniment voisin P , et l'on trouverait le même cercle limite.

C'est d'ailleurs ce que l'on peut reconnaître directement 5 il suffira de remplacer l'angle N par celui de la tangente en M avec la corde MP : le diamètre du cercle variable sera le rapport de l'arc de cercle MP à cet angle , qui peut être remplacé par la moitié de la courbure de l'arc MP de la courbe. On trouvée donc encore niéme limite pour le cercle tangent en ^ à la courbe et passant par un autre point de la courbe infiniment voisin du premier,

164. On peut donner pour le rayon du cercle osculateur une formule dépendante des accroissements de l'ordonnée et de l'arc de la courbe , correspondants à ceux de l'abscisse.

Les deux points infiniment voisins du premier pouvant être pris d'une manière quelconque sans changer le résultat, nous supposerons qu'ils correspondent à deux accroissements successifs égaux de Tabscisse. Soit h la valeur d'un de ces accroissements^ / l'accroissement correspondant de l'arc 5 k l'accroissement correspondant àey\ Il l'accroissement de cet accroissement quand on y change xen X -hh'^ soient M, M% M'' (fig. 83) les trois points de la courbe , O le centre du cercle qu'ils déterminent , R son rayon, MH, M' H' les accroissements correspondants h , k des coordonnées rectangulaires de M 5 M' H, M'^H' les accroissements de ces mêmes coordonnées à partir de M', de sorte que d'après ce qui précède on ait M'H' = A, SM" = k^. L'accroissement / de l'arc y à partir de M, pourra être remplacé par la corde MM', ou son égale M' S dans les rapports dont on cherchera les limites.

Dans les deux triangles OIW, MM'H dont le» angles

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tendenl vers les mêmes limites, les rapports des côtés ont les mêmes limites; et copime nous le savons , nous pourrons sans inconvénient les regarder comme égaux : les calculs seront plus simples et les résultats ne seront pas altérés ; nous écrirons donc la relation

M^MH M" I h