RESUME DU LIVRE PREMIER

Nous avons établi dans ce livre les principes fondamentaux de la méthode des limites. Nous avons montré comment les anciens avaient introduit la notion des limites, et Fusage qu^ils en faisaient pour ramener la mesure de certaines grandeurs à celle d'autres grandeurs plus simples 5 comment les modernes avaient rendu plus facile le

DBS QUANTITÉS CONSIDEREES GOMME LIMITESi aiQ

passage de la relation des variables à celle de leurs limites, ou des quantités proposées. Nous avons fait voir comment Ârchimède avait considéré les grandeurs comme limites, soit de séries, soit de sommes de quantités infiniment petites , et nous avons donné des exemples variés de ces procédés. Nous avons considéré ensuite F emploi que les modernes seuls ont fait des infiniment petits comme termes de rapports , et nous avons montré comment ils y ont été conduits naturellement par le problème des tangentes , qu'ils ont envisagé sous un autre point de vue que les anciens. Mais nous avons fait voir par divers exemples que les limites des rapports d'infiniment petits se présentaient dans bien d'autres recherches que celles des tangentes.

Nous avons fait ressortir l'avantage que présente l'emploi des infiniment petits dans les limites de sommes ou de rapports, et qui consiste en ce qu'on peut leur substituer des quantités infiniment petites inégales, mais qui n'en diflèrent que d'une quantité infiniment petite par rapport à elles-mêmes. Ce principe facilite beaucoup les calculs en ce qu'il permet de négliger des quantités dont Pexpression serait quelquefois très-compliquée* et entièrement inutile pour la détermination du résultat que l'on a en vue.

Dans les applications que nous avons faites des infiniment petits à Fétude des théories géométriques et mécaniques, ces quantités se sont souvent présentées comme les accroissements correspondants de variables liées entre elles par des relations connues. Nous sommes parvenus à la détermination des limites des sommes ou des rapports de ces quantités par des procédés indiqués par la nature de la question , mais qui ne se rattachaient pas à des méthodes générales . Nous allons actuellement nous occuper spécialement de ces méthodes générales dont l'utilité

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doit être beaucoup mieux sentie, d'après toutes les applications que nous savons qu'elles auront.

En conséquence , Tobjet principal du second livre sera la détermination des limites des rapports des accroissements des variables liées entre elles par des équations données, ou les limites des sommes d^nfiniment petits dont Texpression générale est donnée. Cet objet est purement algébrique. Les applications que nous en ferons auront pour but d'abord d'éclaircir Fusage des formules et des notations particulières et quelquefois compliquées , quenous y ferons connaître, et ensuite d'étendre et généraliser des théories exposées dans ce premier livre.

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS. CALCUL INVERSE OU INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES.