CHAPITRE PREMIER

DES FONCTIONS EN GÉNÉRAL ET DE LA CONTINUITÉ. GÉNÉRALISATION DE LA MÉTHODE DES LIMITES.

165. On désigne sous le nom de variable toute quantité qui , dans la question où on la considère, est susceptible de recevoir successivement différentes valeurs.

On nomme variables indépendantes celles dont les valeurs sont entièrement arbitraires 5 et variables rfépendantes ou fonctions y celles dont les valeurs sont déterminées par celles de certaines autres quantités, quelle que Suit la nature de cette dépendance, et soit qu'il s'a- ^sse de quantités concrètes ou de quantités évaluées en nombres. Dans le premier cas, on a des fonctions concrètes^ et dans le second , des fonctions analytiques.

Les fonctions analytiques se distinguent en fonctions. explicites et fonctix)ns implicites. Les premières sont celles dont les valeurs peuvent s'obtenir au moyen d'opérations indiquées et que l'on sait effectuer -, les autres sont celles qui sont liées aux variables indépendantes par des équations non résolues : dans ce cas , les opérations à effectuer pour former les valeurs des fonctions ne sont pas indiquées. On les connaîtrait par la résolution des équations données, et les fonctions deviendraient alors explicites.

it2û LIVRE II.

Les fonctions explicites se subdivisent ordinairement en algébriques et transcendantes. Les premières sont celles où les seules opérations indiquées sont des additions , sous tractions , multiplications, divisions, élévations à des puissances et extractions de racines de degrés connus \ les autres sont celles qui renferment d'autres opérations indiquées sur les variables : comme, par exemple, les quantités exponentielles, les logarithmes, les lignes trigonométriques , etc.

Lorsqu'une seule de ces diverses opérations est indiquée sur une variable, on a une fonction simple de cette variable. Lorsque plusieurs d'entre elles sont accumulées les unes sur les autres, on a ce que l'on appelle une fonction de fonctions. Toutes les fonctions qui ne rentrent pas dans ces deux cas se nomment yb/ic/i*o/i5 composées.

Lorsque deux variables sont liées par une équation quelconque, elles sont fonctions l'une de l'autre. La forme de ces deux fonctions est diflerenle si les deux variables n'entrent pas dans l'équation d'une manière symétrique. On leur donne, l'une par rapport à l'autre, le nom de fonctions inverses. Si, par exemple, on résout par rapport à x les équations suivantes , qui sont résolues par rapport à y,

X=jf", X=a*, j=sinx,...,

on obtient

x=\jrt a7 = logj, X =z arc sïn jr .

Ainsi , d'après notre définition , la racine m'*"' est la fonction inverse de la puissance m 5 le logarithme est la fonction inverse de l'exponentielle, etc.

166. Continuité. — Une variable est continue lorsqu'elle ne peut passer d'une valeur quelconque à une autre, sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

CALCUL DES DiEIVÉCS ET DES DIFFÉ&ENTIBLLES , KTC, 223

Une fonction est dite continue lorsqu'en faisant varier d'une manière continue les quantités dont elle dépend, elle est constamment réelle et varie elle-même d^une manière continue , c'est-à-dire qu'elle ne peut passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les intermédiaires. Une fonction peut être continue tant que les variables dont elle dépend restent renfermées entre certaines limites, et cesser de Fêtre, ou devenir discontinue, en dehors de ces limites.

Pour démontrer qu'une fonction qui est réelle entre certaines limites de la variable est continue, il suffit de faire voir que l'on peut faire croître la variable par degrés assez petits pour que les accroissements correspondants de la fonction soient moindres qu'une grandeur quelconque : car , si cette fonction n'était pas continue , il faudrait qu'elle passât brusquement d'une certaine valeur à une autre qui en différerait d'une quantité finie; ce qui est absurde, puisque l'accroissement de la fonction peut être rendu moindre que toute grandeur donnée. C'est ainsi que, dans les éléments, on a démontré que toutes les fonctions simples sont continues , et que , par conséquent, il en est de même des fonctions composées. Réciproquement, toute fonction continue d'une variable jouit de la propriété, que ses accroissements peuvent devenir moindres que toute quantité donnée, pourvu que l'on donne des valeurs suffisamment petites aux accroissements delà variable : car, si l'accroissement donné à la variable, à partir d'une de ses valeurs, tendait vers zéro, sans qu'il en fût ainsi de l'accroissement de la fonction , il en résulterait que la fonction passerait brusquement d'une valeur à une autre qui en différerait d'une quantité finie , et que , par conséquent, elle ne serait pas continue.

Si l'on considère les valeurs d'une fonction continue comme des ordonnées, et les valeurs correspondantes de

la variable indépendante comme des abscisses, les points ainsi obtenus se suivront sans interruption et formerout une ligne continue, qui sera la représentation géométrique de la fonction analytique.

Généralisation de la méthode des limites.

167. Nous avons dit, dans le premier livre, qu'on appelle limite d'une quantité variable une quantité fixe dont elle approche indéfiniment , c'est-à-dire de telle sorte que leur différence puisse devenir moindre que toute grandeur assignée, sans cependant se réduire jamais rigoureusement à zéro; et nous avons d'abord fait cette remarque bien simple , qu'une même quantité ne peut tendre en même temps vers deux limites inégales.

Nous en avons conclu que si deux quantités variables dépendent de certaines autres, de telle sorte qu'elles restent constamment égales entre elles dans tous les états par lesquels elles passent, et que l'on sache que l'une d'elles tend vers une limite, on peut affirmer que l'autre a la même limite : car, puisqu'elle est toujours égale à la première, elle s'approchera indéfiniment de la quantité fixe dont celle-ci est supposée s'approcher indéfiniment.

Cela posé, considérons une équation dont les deux membres soient des fonctions continues quelconques de variables X, j^, z, etc., dépendantes ou indépendantes les unes des autres , et représentons-la par

Supposons que les variables x^y ^z^ etc. , tendent simultanément, d'une manière continue ou discontinue, vers les li^nites respectives a, i, c, etc., dont quelquesunes pourraient être zéro ; et proposons-nous de découvrir la relation qui lie entre elles ces limites, en admettant

que les fonctions restent continues dans le voisinage de ces valeurs des variables. Pour cela , observons que , F et/" désignant des fonctions continues de a;, j", z, etc., elles subissent des accroissements très-petits lorsque ces variables changent elles-mêmes de quantités très-petites, et que ces accroissements correspondants tendraient en même temps vers la limite zéro: donc, si Ion conçoit que x, /, z , etc., tendent simultanément, et suivant des lois quelconques, vers les limites a, 6, c, les fonctions F (x^y^ z,. . ')yf(Xjj,,Zj. . .) tendront indéfiniment vers F (a, J, c,. . .),/(a, i, c, . . .). Mais les limites de quantités égales sont égales : donc on aura nécessairement

c'est-à-dire que la relation entre les limites sera identiquement la même que celle qui avait lieu constamment entre les variables^ et qu'il suffit de changer dans celle-ci les variables dans leurs limites, pour avoir la relation qui existe entre ces dernières.

Si cette substitution introduisait des indéterminations apparentes, on les ferait disparaître par des procédés que nous aurons occasion de faire connaître par la suite.

C'est ainsi que se trouve généralisée la proposition qui sert de base à la méthode des limites ^ et la méthode ellemême consiste h considérer les quantités dont on veut découvrir la relation, comme limites de quantités plus simples , et à chercher la relation de ces dernières. Lorsqu elle est établie , il ne reste plus , d'après le théorème précédent, qu'à substituer à toutes les variables leurs limites respectives.

Les quantités variables qui ont pour limites les quantités proposées peuvent être choisies de bien des manières différentes, comme nous avons déjà eu l'occasion de le I. ' i5

dire, et ce choix est très-important. Les calculs peuvent être très-simples ou très-compliqués , suivant la nature de ces variables ^ et dans chaque cas particulier il faudra s'attacher d'abord à reconnaître quelles sont celles qui donneront le plus de facilite au calcul. Ainsi , par exemple , quand on cherche la relation entre les surfaces de deux cercles et leurs rayons , on considère ces cercles comme limites de polygones réguliers semblables, parce que la relation entre ces polygones et les rayons des cercles est très-facile à obtenir-, tandis qu'elle aurait été très-difficile à découvrir si Ton avait supposé différents les nombres des côtés des deux polygones , et que de plus on ne les eût pas supposés réguliers. Au reste, si cette dernière était découverte, elle conduirait nécessairement à la même relation entre les cercles et leurs rayons , et le choix des variables n'a d'autre effet que de conduire plus ou moins simplement au résultat. Mais il n'y a aucune règle précise à donner à ce sujet.

CKt.CVt. DES DéaiVEES ET DES DIFF^EETTTÏEI.LES , ETC. 9.9.']