CHAPITRE II
DES DÉRIVÉES, DES DIFFÉRENCES ET DES DIFFÉREN- TIELLES DES FONCTIONS D'uNE SEULE VARIABLE. NOTATIONS.
168. Nous avons démon iré (n° 69) que le rapport des accroissements infiniment petits correspondants d'une fonction et de la variable dont elle dépend, tend en général vers une limite déterminée, et nous avons nommé cette limite dérîuée de la fonction par rapport à la vaviable indépendante.
L'accroissement positif ou négatif d'une variable quelconque , dépendante ou indépendante , se nomme la différence de cette variable, et se désigne par la caractéristique A suivie de la lettre qui représente la variable.
Ainsi Ao:, Ay, A^, etc., représentent les différences ou accroissements des variables j:, y, z, etc.
La dérivée d'une fonction se désigne, comnie nous l'avons déjà dit, par la lettre même qui désigne cette fonction, affectée d'un accent : de sorte que les dérivées par rapport à X des fonctions F [x) , / [x) , (f [x) , etc., s'écriront ainsi :
Ainsi, d'après la notation des différences, si Ton désigne une fonction quelconque F [x) par^, on aura, en supposant que A.r et ^y tendent vers zéro,
et, par conséquent, en représentant par « une certaine
228 LIVRK 11.
quantité tendant vers zéro en même temps que ^x.,
-^ =F'(a:)4-a, et ^yz=lY' {x)Lx-\-aiikx. Lx ^ \ /
169. Celte dernière expression nous fait voir que l'accroissement infiniment petit d'une fonction quelconque peut être considéré comme composé de deux parties , dont l'une a A a: est infiniment petite par rapport à l'autre qui est F' (x) Ax. Or nous savons que les limites des sommes ou des rapports d'infiniment petits, ne sont pas altérées lorsqu'on remplace ces infiniment petits par d'autres qui en diffèrent de quantités infiniment petites par rapport à eux. Donc , toutes les fois que Aj- entrera dans un calcul comme terme d'un rapport ou d'une somme dont on cherchera la limite, on pourra le remplacer par P (.r) A j:, c'est-à-dire par le produit de la dérivée de y par l'accroissement infiniment petit de la variable indépendante X,
On donnqle nom de différentielles à ces quantités que l'on peut substituer aux différences infiniment petites des fonctions. Elles sont plus simples, puisqu'on néglige dans celles-ci le terme a A a: qui est presque toujours excessivement compliqué. Ce sont même les plus simples quantités que l'on puisse considérer au lieu de l'accroissement de la fonction correspondant à l'accroissement arbitraire A a:, puisque c'est le simple produit de ce A a: par une fonction où A x n'entre pas.
Les différentielles^ ces quantités infiniment petites, plus simples, que l'on peut substituer aux différences elles-mêmes, se désignent par la caractéristique rf, au lieu de A, et comme elles ne sont autre chose que le produit de la dérivée de la fonction par l'accroissemetit de la variable , on aura
dy^r[x]b.x ou ^==F'(j:);
la diiTérentielle est donc une quantité dont le rapport h Faccroissement de la variable est égal à la limite du rapport de la différence de la fonction à ce même accroissement. On voit que la recherche de la dérivée ou celle de la différentielle d'une fonction sont une seule et même question.
170. Si Ton suppose que la fonction y soit x lui-même, CD aura
AX = ^^7 F'(-r) = i et dx = Ax,
Ainsi la différentielle de la fonction y, qui dans ce cas est x^ est identique k Ax^ c'est-à-dire que l'on a
dx= Ax ;
et, comme il est plus naturel d'employer une seul» caractéristique quand cela est possible, toutes les fois quil s'agira de différentielle de fonctions de x nous représenterons l'accroissement de x par dx ; et , lorsqu'il s'agira des accroissements exacts désignés par la caractéristique A , nous représenterons l'accroissement de x par A x.
Remarque. — Si, dans une même question, on a a* considérer une variable indépendante x et plusieurs fonctions j^, z, M, i^, etc.*, de cette variable ^ que ïoA représente par A^, A 2, Au, Aw^ etc., les accroissements de ces fonctions , correspondants à un même accroissement Ax deo:; et par dy^ dz^ du^ dy^ etc., leurs différentielles correspondantes à dx = A a: : toutes ces différentielles seront dans des rapports constants avec dx et , par conséquent, les unes avec les autres , à mesure que dx tendra vers zéro. Ces rapports constants seront évidemment les limites des rapports des différences correspondantes, qui ne diffèrent des différentielles que de quantités infiniment petites par rapport à elles-mêmes.
aSo LIVRE II.
Ainsi , par exemple , (wi aura
-— =:hm. -— ,
de sorte que — est la dérivée de P'par rapport ày^ quelle
que soit la variable commune par rapport à laquelle on ait pris les différentielles d^^ et dy. Ce qu'on peut encore
exprimer d'une autre manière en observant que -7- est le
\ du ^ dr , .
rapport de— a -j- 5 et on obtient cette proposition que
la dériv^ée d'une variable ^ par rapport à une autre variable y j est égale au rapport des dérii^ées de v^ et y par rapport à une même variable quelconque x, dont elles peuvent être considérées comme dépendantes.
Des fonctions simples, des fonctions de fonctions et des fonctions composées,
171. La manière dont une quantité peut dépendre d'une autre est susceptible d'une variété indéfinie. Parmi • toutes les formes possibles de fonctions , on en a choisi un certain nombre très-limité, auxquelles on est convenu de chercher à ramener toutes les autres. Elles sont telles , que, soit par les premières opérations de l'arithmétique, soit au moyen des Tables construites d'avance, on peut , avec un degré suffisant d'approximation, obtenir leurs valeurs correspondantes à des valeurs numériques quelconques de la variable dont elles dépendent.
Ces fonctions , que l'on désigne sous le nom de fonctions simples , sont les suivantes, dans lesquelles a désigne une quantité indépendante de la variable x : aH-x ,
a — X, «X, -1 X'" [m étant un nombre réel quelcon-
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFEEENTIELLES , ETC. a3l
que), a', sinx, cosx, tango:, coter, sécor, cosécx; et les fonctions inverses logx, arc sin.r, arc cosx, arc tango:, arc coto', arc sécx, arc cosécx.
Une fonction quelconque de x peut être soumise aux opérations qui constituent une nouvelle fonction; on a alors'une fonction d^une fonction de x. En la considérant elle-même comme une variable , on peut encore la soumettre aux opérations qui constituent une nouvelle fonction, et ainsi de suite. Les fonctions obtenues de cette manière se nomment, en général, des fonctions de fonctions.
Lorsqu'une fonction dépend (Je plusieurs fonctions de X, on la nomme une fonction composée de x, et c'est le cas le plus général des fonctions explicites j c'est-à-dire de celles qui sont l'indication d'opérations qu'on sait effectuer.
Dans tous les cas, lorsque deux fonctions, renfermant un nombre quelconque de variables dépendantes d'une seule , sont toujours égales , quelque valeur qu'on donne à cette variable, il est clair que leurs accroissements correspondants sont toujours égaux, et que, par conséquent ,Jeurs dérivées par rapport à cette variable le sont aussi , ainsi que leurs différentielles.
D'où il résulte que , quand une équation a lieu pour toute valeur de la variable indépendante , les dérii^ées ou les différentielles de ses deux membres par rapport à cette variable sont égales, quelque valeur qu'on lui donne.
Nous allons faire connaître les principes au moyen desquels la détermination des différentielles ou des dérivées de toutes ces fonctions se ramène à celles des différentielles ou des dérivées des fonctions simples.
Différentialion des fonctions de fonctions,
172. Considérons une fonction u de x, déterminée par la suite d'équations
« = F(z), zz=zf{y), r=?W,
et cherchons sa dérivée par rapport à x, ou la limite du rapport — t dont les deux termes tendent vers zéro , opération qu'on appelle différentialion. Soient Au, A z, ù^y les accroissements de m, z^ jr correspondants à l'accroissement dx àe x\ on aura identiquement
A a Aa Aa Aj
A jc As A^" A X
d'où, en observant que la limite d'un produit est le produit des limites ,
Donc la dérivée de u par rapport à x est le produit des dérii^ées de u par rapport à z, de z par rapport ày^ et de y par rapport à x.
Si l'on représente la dérivée de u par rapport à x par le rapport des différentielles , on aura
OU
da=z¥'[z)f'{x)^'[x)dx.
C'est en cela que consiste le principe de la différentiatiou. des fonctions de fonctions. Il a lieu évidemment, quel que soit le nombre des fonctions accumulées 5 et il
ramène à la simple difierentiation de chacune de ces fonctions, considérée isolément.
Differentiation des fonctions ins^erses.
173. Si l'on désigne une fonction F (a:) par y, c'est-àdire si l'on pose
et qu'en résolvant par rapport à x, on en tire
on dit que les fonctions F et ^ sont inverses l'une de l'autre.
Cela posé, ces deux équations étant les mêmes sous une forme différente, elles donneront les mêmes accroissements correspondants pour x eiy. Soient Ax^ ù^y ces accroissements , on aura
F'(x) = lim. -^ =r lim.-;^ r- = -7-; — : =: ,r-, ,-;
d'où il résulte que, pour avoir la dérivée d'une fonction F(x) inverse de la fonction <f(x)y dont on sait trouver la dérivée , il suffira de prendre la réciproque de la fonction dérivée (p', et de placer sous ce signe la fonction proposée F (x).
Expression de V accroissement infiniment petit d'une fonction de plusieurs variables dépendantes ou indépendantes .
174. Considérons une fonction j^ qui dépende de deux variables i/, i^, et soit
Si Ton donne ku elv des accroissements infiniment petits
234 LIVEE II.
Au y Af^dépeudants ou indépendants l'un de Pautre , suivant que M et (^ le seront eux-mêmes , F accroissement correspondant dey sera
A/ ==F(« -f- AM,P-f- Ap) — F(/«,(>)
et pourra se mettre sous la forme
-h F(w + Attjf' -4- At') — F(tt -f- A«,p). Les deux premiers termes peuvent s'écrire ainsi :
au
Le coefficient de Aune diffère que d'une quantité infiniment petite de la dérivée de F (//, i^) par rapport à i/, u étant considéré comme constant. Soit Fi (t«, i^) celte dérivée, que l'on appelle détwée pat^ielle de F(w, ^^) , ou de ^, par rapport à u ] l'expression précédente pourra se mettre sous la forme
a désignant une quantité qui devient nulle avec Au, La seconde partie peut se mettre sous la forme
F(tf'~h Af<,(> ~h Af^) — F(rt -^- Att,p)
et le coefficient de Av» ne différera de la dérivée de F(m + Am, s^) par rapport à ^» considéré comme seule variable , que d'une quantité ë qui deviendra nulle avec Ai^. Soit Fi{u^ i^) la dérivée partielle de F (m, u) par rapport à (^; on pourra donc mettre la seconde partie de A y sous la forme
j3 devenant nul avec At^*
Mais F,(w -h A«, f^) ne diffère de Fi(«, y) que d'une quantité qui deviendra nulle avec Au; Tajoutant avec (3, et en désignant leur somme par a', la seconde partie de Ar aura pour valeur
[F,(£*,(')-f-a']Air;
et par conséquent , en réunissant les deux parties de Aj,
Ar = [F,(w,p)-ha]Aa-f-[F,(tt,p) -4-a']Av.
Or a Au, étant infiniment petit par rapport à la première partie , Test par rapport à Ay lui-même ; et il eu est de même de a'Ai^, soit que Au et Ap» soient dépendants ou indépendants Tun de Tautre. Donc, en désignant par û) une quantité infiniment petite par rapport à Aj^, on aura
. A/ = F, (a, o)Att -h Fa(a, (')Ap -h w.
On représente les dérivées partielles F, (m, u)^ F, (u, v')
flF(u,v) dY[u,v) dy dy . ., r i-
par — -, -S ; — ■> ou -r-'> -T-s mais il faut bien se
'' du ' dv du dif
rappeler que ces deux dy sont différents et représentent les différentielles de j^ relatives à la variation d'une seule des quantités u, j^ : on les nomme les différentielles partielles de y par rapport à u ou à i^. Euler avait proposé
d'écrire ainsi ces. dérivées partielles • 1;^)» \zr)' ^'* ^
supprimé, depuis, ces parenthèses, parce qu'avec un peu d'attention, toute méprise est impossible. L'équation précédente s'écrira alors de cette manière :
ày = -f ^u -h -y- ^v -\- M ; du dv
et il est bon de se rappeler que w se compose d'abord (Vuiie partie qui, divisée par Az£, devient encore nulle quand on y fait Au = o, et d'une autre partie qui, après
a36 LIVRE II.
avoir été divisée par Au^ contient des termes qui deviennent nuls, les uns quand on y fait Au = o, et les autres quand on y fait Ai^ = o.
On aurait des résultats analogues pour un nombre quelconque de variables m, v^ etc., soit entièrement indépendantes, soit dépendantes les unes des autres, ou d'autres variables quelconques.
Différentiation des fonctions composées.
