Soient

y sera alors une fonction composée, relativement à x.

Pour avoir sa dérivée , on remarquera que , d'après ce qui précède, on a , en supposant les accroissements infiniment petits ,

dr dy dy

du dv dw

\ <ù étant infiniment petit par rapport à Ay.

Divisant par Ao: et passant aux limites, on obtient

djr dy du dy dv dy dw

dx du dx dv dx dw dx ' '

dr expression dans laquelle il ne faut pas oublier que -^ ?

■j-^ — sont les dérivées partielles de la fonction y. Si a:

entrait explicitement dans F (m, ^^, w, . . .) , par exemple

SI M n était autre chose que x, -r- deviendrait — - et se- '^ du dx

rait la dérivée partielle de la fonction par rapport à .r^

CALCUL DKS DÉaiVEBS £V DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 287

tandis que le -j- du premîer^membrc est la dérivée totale de la fonction dans laquelle on fait varier toutes les I quantités dépendantes de :r. On ne se méprendra jamais ! sur le sens de ces notations : c'était pour éviter toute crainte à ce sujet, qu'Euler avait proposé, comme nous l'avons dît, de mettre en deux parenthèses les dérivées partielles \ mais on a renoncé à cette précaution.

L'équation ci-dessus donne, en multipliant les deux membres par rfx,

du du dw

^r = ~:rf« -h ~rf^ + ~:y^4-. . . ,

que Ton écrit quelquefois ainsi :

djr z=dujr -{-d^y -^d^y -^

On peut donc énoncer ainsi le principe de la différentiation des fonctions composées :

La d^érentielle d* une fonction composée est égale à la somme de ses différentielles partielles, relatii^es à chacune des variables qui y entrent explicitement.

Quant aux différentielles du^ di^^ etc., de ces dernières, elles se rapportent toutes à la différentielle dx de la variable unique dont elles dépendent.

476. Théorème des fonctions homogènes, — La différentiation des fonctions composées donne la démonstration d'un théorème remarquable sur les fonctions homogènes. On dit qu'une fonction de plusieurs variables est homogène et du degré m, lorsqu'en multipliant chaque variable par une indéterminée £, la fonction se trouve multipliée par T".

Cela posé , soient u = F {:r , j, ^, . . .) une fonction homogène du degré m , et ç(j:,j^, z,...),^j;(a:,/, -5,...), etc., ses dérivées partielles par rapport à x,y, etc. ; on aura,

d'après la définition précédente ,

(i) F(to,(r,fz,...) = '"F(^,r, 2).

Différcntiant les deux membres par rapport à la variable / seulement, il vient

if(tx, tjr, tz,...)x + + (/*•, r/, ft, ...) J -+-...= mr-' F (x,jr, z) ;

faisant t = i dans cette identité, on aura la suivante :

. , du du du

^ ^ dx dy dz

C^ est en cela que consiste le théorème des fonctions homogènes.

On peut remarquer que si , dans l'identité (i) , on suppose t = -'i on obtient

Ainsi une fonction homogène de degré m , divisée par la puissance m d'une des variables, ne dépend plus que des rapports des autres variables à la première.

Différentielle d'une somme, d^un produit ou d'un quotient.

m. La règle précédente, appliquée à une somme de termes , montre que la différentielle d'une pareille fonction est la somme des différentielles de cliacun de se» termes, ce qui était d'ailleurs évident de soi-même.

Si l'on suppose maintenant y = uv^w, . . , la même règle donnera, en observant qu'en général d^AF[x)^=AdF[x) , si A est un coefficient constant,

dy =z ('«^ . . . du "{■' Uiv . . . fl^p -H w(> . . . dw H- . . . ,

CALCUL DF.S DÉRIVÉES BT DFS DIFFÉAKNTISLLCS, BTC. 289

(du dv dw \ dy=z u(Hv, ..( 1 1 h-. )

Soît encore j^ = -j d'où \*r = u. En prenant les différentielles des deux membres , on aura

ydv -h vdy •=. du ,

d'où

du ydv du udv

ce que' l'on peut écrire ainsi :

vdu — udif dr =

Ces trois règles sont d'un usage très-fréquent.

Comment la différentiation de toute fonction explicite se ramène à celle des fonctions simples ,

178. Considérons maintenant une fonction explicite quelconque de x : elle indique une suite d'opérations à effectuer, dès que Ton aura choisi arbitrairement une valeur numérique pour x. Celle de ces opérations qui doit se faire la dernière , et dont le résultat est la valeur de la fonction, porte soit sur une seule, soit sur deux quantités variables avec x \ dans ce dernier cas la différentielle de cette fonction se ramène , par le théorème des fonctions composées , au cas où une seule des deux quantités serait variable , et alors on n'a plus à considérer qu'une fonction simple. Si donc on savait trouver les différentielles de toutes les fonctions simples , on saurait trouver celle de la fonction proposée, au moyen des différentielles des quantités sur lesquelles doit s'exécuter la dernière opération. La question est donc ramenée à déterminer ces différentielles, qui sont celles de fonctions moins compliquées

24o LIVRE II.

que la proposée, et qui se ramèneront semblablement à d'autres fonctions encore moins compliquées, jusqu'à ce que l'on parvienne à des fonctions simples.

Tout se réduit donc à la différentîation de ces dernières , et c'est de quoi nous allons nous occuper présentement.

Differentiation des fonctions simples.

179. Différentielle de logx, — Soit y = \os,x\ ce logarithme étant pris dans une base quelconque a , on aura

A^ = log(x4- ^x) — logj:= log( iH Y

et , par suite ,

Ax àx

Posons — ^ = a , et substituons dans le second membre ,

il vient

Or on sait que (iH- a)" tend vers la base e du système de Néper, lorsque a tend vers zéro (roir la note I à la fin).

Donc la limite de — est — ^•

ÙlX X

On peut donc écrire

-7- = —S- , ou dy =: ~-^~ dx. dx X X

Si l'on observe que loge==r-» 1 désignant les loga-

CALCUL DfeS DÉAIVEBS KT DBS DIFFÉRENTIELLES, ETC. 2^1

rithmes népériens, ou pourra écrire

$\a=:e^ on auray =:la:,

dx dr i dy=~, :r-=a —

X dx X

Dans le cas où a = lo, le module loge a pour valeur loge = o,434^94S« - ••

180. Différentielle de à'. — Soit maintenant la fonc* tion inverse y^za'. D'après la règle doniiée en général pour les fonctions inverses , et dont on pourrait refaire la démonstration sur chaque cas particulier, on aura

dx loger loge

et, par suite,

dy^=:a*\adx.

On pourrait aussi trouver directement la différentielle de a', et en déduire celle de la fonction inverse \ogx. En eflfet , si Ton a j = a', on aura

d'où

Ax Ax

rï^' — I

Tout se réduit donc à trouver la limite de , ou*

pour plus de commodité, de ? a tendant vers zéro.

Posons

fl^— 1=6, doit â«=i4-6, L i6

a^S LIVAE II.

et, par suite,

alû=:l(H-6); d'où il résulte

Or, 6 tendant vers zéro, (iH-S) a pour limitée^ doue

lim. =\a,

et, par conséquent,

-f- z=:a*\a^ et ify=:a*\adj:,

181 . Différentielle de x^. — Soit )^ = x^ ^'on aura , en prenant les logarithmes des deux membres dans la base e ,

]jr=:m la?;

prenant maintenant les diSerentielles des deux membres ^ il vient

— = iw — , dou dy=^ —^ dx, y X X

Remplaçante^ par x"*, on aura, quel que soit m ,

•^ ' dx

Si j^ et x n'étaient pas positifs, les logarithmes seraient imaginaires; on évitera cette difficulté en élevant au carré les deux membres de Téquation ^ == j:*", ce qui donne

cl , prenant les logarithmes ,

Difierentiant les deux membres , il viem

et, comme on reconnaît facilement que l'on a celte équation deviendra

et, par suite,

\ dx^maf^-^dx, et ±==n,^^.

dx '

comme dans le premier cas.

Dans le cas particulier de m = i , on trouve.

Si /w = —, on a

d.sj^=~, 'i.SJx

On peut parvenir directement à la différentielle dexî>i 1 on suppose d'abord m entier et positif, on aura, en 'mant x^parj^

divisant par l^x et passant à la limite, on obtient dy dx

Soit maintenant TO= ^, p et 9 éum entiers el positifs, on aura

y=ix*i^ d'où y9:=:xP.

i44 tivEt fï.

Différentiaat les deuic membres, il vient '

yjrf-> dy zzipx^^^ dx ; d'où

dYzrz- dx=^^ x^ dxz=: mx"^^ dx.

Cette formule étant vraie, quelque valeur commensu^ rable qu'ait m, est encore vraie lorsqu'il est incommensurable.

Soit enBn m= — «, n étant un nombre quelconque positif, on aura

y =^-« tm — • d'où ^a;«= i .

DifTéreuttant les deux membres, il vient, en appliquant au premier membre la règle des fonctions composées ,

^dy ^ nxf^^ ydx = o ;

d'où

dyz=z — /îx""'*""' dx = maf^^ dx.

Ainsi , quelque valeur qu'ait m, la différentielle de oc^' est, comme nous Tavions déjà trouvée, ma:"*"* dx.

482é Différentielles de sinx, tangXy sécx. — Les lignes trigonométriques étant des fonctions de l'arc correspondant (voir, dans les applications géométriques, l'article sur la longueur des lignes courbes), nous pouvons chercher l'expression de leurs diifér&tielles correspondantes à celle de l'arc. Dans tous, ces calculs nous supposerons que le rayon soit pris pour unité.

1". Soit d'abord

,. yz=:smx^ il en résultera

X . . àx f A»V ày =: sin(x -\- à^) z= sinx =z 2 sin — cos ( x-\ > 5

CAI.CUL DSS DÈRIVÉIS &T UCS UirFKaBNTlBLLBS , BTC. 245

d'où

cos

Or, lorsqu'un arc tend vers zéro , le rapport du sinus a Tare tend vers Tunitë, ainsi que le rapport de la tangente à I arc, ou du sinus à la tangente; donc

. Ax sin —

Hm. :

la limite du second membre est donc cosjt*. On a donc

— -=:cos;f; ax

ou en déduit

djr:=zcosxdx ,

d ,sinxz=z cosxdx.

2**. Soit maintenant j^= tangx; on aura

tangx + tangAjT tangAjt:(i + UDg'x)

I — tang:rtangA:r ^ i — taugxtangAa;

d'où

Aj taugAj; n-lang^«

àx Ax I — UDgxtangAjr^

et passant aux limites ,

~= i-Htang'x = séc'x=

dx ^ cos*j:

el , par suite ,

rfj = rf.tangj:= — - — ^ cos' X

246 UVAK II.

On arriverait au même résultat en considérant que tang x

égale ♦ et appliquant la règle pour différentier les

fractions.

Soit enfin j^ = séca:= ; on aura^ par la règle des

fractions ,

d . cosx sinxdx

ar = ; — = — = iansxsecxdx :

ces* a: cos'j?

ainsi J.sécj7 = tangx sécxdx.

On y parviendra encore en observant que

cos(a:-f-Ax) cosx

et développant les calculs comme dans les cas précédents. 3**. Différentielles de cosx, cotx, cosécx. — Considérons maintenant les mêmes fonctions du complément

-— -arde Farcx.

Observons pour cela que l'on aura en général , en regardant X comme une fonction de j? , et appliquant

la règle des fonctions de fonctions ,

Ainsi , pour les trois fonctions cosj:, cotj:, coséc j:, qui ne

sont autres que sin f - — x\ » tang ( x\'i sec ( x\t

il faudra prendre les dérivées des fonctioi^s respectives sina;, tangx, sécx, y changer a: en x, puis multiplier par — dx. On trouvera ainsi :

d. cosx = — ûnxdx. d. cotx = r-r- >

sin'x

d. cosécx = — cotx cosécxc/x .

€:ai.cul des dérivées et des différentielles, etc. 247 183. Différentielles des fonctions trigonométriques inverses. — Nous avons vu que , pour obtenir la dérivée d'une fonction y àex^ il suffisait de diviser F unité par la dérivée de la fonction inverse^ dans laquelle on mettrait y pour Variable.

D'après cela , si Ton considère les fonctions arc sinx , arc tango: , arc séc x , arc cos x , arc cot x , arc coséc x qai ont respectivement pour inverses

sinor, taagx, sécx, cosx, cotx, cosécx,

on trouvera :

dx dx

pour y = aresmx, djr = =

pour y = arc tang j;, djr = cos^ydx =

dx dx

pour Y = aixîsecx, dr = ; — = — , — ?

lang^sec^ x^x^-^i

pour y =: arc cos J7, dy = : = , ^

dx pour y :=: arc cota:, r/y = — %\ïi*xdy = — ,

dx dx

pour Y '.=: arc cosecj:, dy =: ; — = . .

^ cotj^cosecj xy/x^—i

11 faut bien remarquer que les radicaux qui se sont introduits dans ces formules doivent être pris , tantôt avec le signe -4- , tantôt avec le signe —5 on reconnaîtra celui que l'on doit prendre , en considérant la ligne trigonomé- Irique qui l'a introduit.

Les trois dernières différentielles sont égales aux trois premières, en faisant abstraction des signes, qui peuvent être semblables ou dissemblables ; et cela tient à et» que la somme ou la différence des deux arcs correspondants est une constante.

Les signes que nous avons donnés aux radicaux dans ces formules se rapportent au cas où Tare est conipris

entre o et —

Les différentielles des fonctions trigonométriques , ou fonctions circulaires^ pourraient encore s'obtenir par des considérations géométriques fort simples , auxquelles nous ne nous arrêterons pas.

184. Le tableau suivant renferme les différentielles de toutes les fonctions simples. Nous y représentons par la lettre caractéristique L les logarithmes dans une base quelconque , et par 1 ceux qui se rapportent à la base de Néper. Dans les fonctions trigonométriques inverses , les

signes des radicaux supposent Tare compris entre o et - :

T ^^ -Le —

dAxz=

d .a' = a'\adx d.e'=e'dx

d . sinx=:cosxdj:

dx d. tangx= T — ,— cos' X

d . sécx=tangx sécxdx

d, co8jr = — s'inxdx

d . cotx= :——-

sin*x

. co8éex= — . cotx co»écxdx

d. aresiBx =

d. arctangx =

d . arcsécx= •

iH-x' dx

<2.arc cosx= —

v/x--— I djç

d. arc cotx= — <i. arccosécx = — -