I-HX
dx
Il est bon d'observer que ces différentielles des fonctions simples de x ne supposent nullement que x soit la variable indépendante. Elles correspondent bien à la différentielle dx] mais celle-ci peut dépendre de celle d'une variable quelconque dont x dépendrait, comme aussi elle peut être entièrement indépendante. Ainsi l'on
CALCUL HBS DiaiVÉVS VT UBS DlFriaBRTIXLLBS , ETC. ^49
aurait
rf.[F(ar)]» = /ï[F («)]«-' i/.F(«), d.siu[¥(x)]=zcos[¥(x)]d.F{x),..,.
C'est cette même considération qui nous a conduits à la différentiation des fonctions de fonctions/
Différentielles des fonctions implicites.
485. Si par fonction implicite on entendait toute fonction dont la forme n'est point donnée explicitement, mais cpii est déterminée complètement par les données de la question , on se jetterait dans une trop grande généralité , et il ne serait pas possible de donner des règles générales pour leur difTérentiation. Nous renfermerons seulement sous celte dénomination les fonctions qui sont liées aux variables dont elles dépendent , par des équations dont les deux membres sont des fonctions explicites de toutes ceh quantités.
Nous considérerons d'abord le cas où Ton a une seule équation^ ce cas se subdivise en deux autres , suivant que la fonction dépend d'une seule ou de plusieurs variables indépendantes.
Soit d'abord la fonction j^ déterminée par l'équation
Les dérivées par rapport à x, des deux membres de cette équation, devant être identiques, et ^ étant une fonction déterminée , quoique inconnue de x, nous aurons, d'après la règle des fonctions composées,
dF d¥ dy rfF , d¥ ,
d^'^d^di^''^ ^" ;ii^^+;^^^' = ^'
équation qui détermine la dérivée ou la différentielle de >,
dV
dr .
dx
dx~
25o LlvaB 11.
puisque Ton peut former les dérivées partielles -7—, -de la foQCtion explicite F(x, y). On aura ainsi :
d¥ d'où £(r = — — ito.
Ces valeurs de la différentielle et de la dérivée de y sont exprimées au moyen de a; et y à la fois; elles ne peuvent l'être au moyen de x seul, que quand on peut résoudre l'équation F{Xy y) =0 par rapport à j^; mais néanmoins ces formules ne laissent pas que d'être d'une grande utilité dans le cas même où cette résolution est impossible.
186. Considérons maintenant m — i équations entre m variables ; ce qui détermine m — i d'entre elles en fonction de la m'''^'^ qui sera la seule variable indépendante. Soient
¥{x,jr, «,...) = G,
on trouvera, en différentiant toutes ces équations,
dF ^ dF ^ dF ^
^, ^^dr -i-^dz -H... = o,
r/F. . ^ ^F, . ^dF. ^
dFa^j , dFm^j , dFm^i ,
— - — dx H — dr H ; — dz -+-. . . = o.
dx dx, dx
De ces m — i équations du prenûer degré par rapport à
CALCUI. DES DiaiY^ES ET DES DIFFÉEEKTIEIXES y ETC. 25l
d)rj dz , etc. , on tirera la valeur de ces m — i inconnues en fonction àeXjjj z,... et dx\ ce qui était l'objet de la question.
Expression remarquable du rapport des accroissements finis de deux fonctions d'aune même variable,
187. Soient F [pc) , f{x) deux fonctions quelconques, etXo, X deux valeurs arbitraires de x; X surpassant x^ d'une quantité finie positive A. Il s'agit de trouver, au moyen des dérivées de ces fonctions , une expression du rapport
F(a:,4-A)-^F(xo) F(X)^F(xo)
en supposant que la fonction y*(x) soit toujours croissante ou toujours décroissante 5 ou , en d'autres termes , que sa dérivée soit constamment de même signe, pour toutes les valeurs de x comprises entre Xo et X. Admettons, pour fixer les idées, {çxe f [pc) soit constamment positive entre ces limites ; et soient A , B la plus grande et la plus petite valeur que prend entre ces mêmes limites le
F'(^) rapport ^, \ :• : on aura constamment
Multipliant par/' (x) qui est positif , on aura les deux inégalités suivantes, qu'il faudrait changer de sens si f (x) était négatif :
Le premier membre de la première inégalité est la dérivée de F (x), et le second de Èif.{x) , et par conséquent
a5a LivftE II.
(n° 72) F (x) croît moins rapidement que A/(a:). On
a donc
et divisant par f(x) — /(j?o)> qui est positif, par hypothèse ,
/(X)-/(xJ^^- La seconde^in^alité conduit de même à
F' ix] Si donc le rapport -^r-rr- est continu entre 0*0 et X , ce
^^ / W qui arrivera évidemment, par exemple, si F' (x) eif^(x) le sont séparément , il existera une certaine valeur de x intermédiaire entre Xo et X , telle que ce rapport devien-
, , , , F(X)-F(xo) . ^ -.Il
dra égal a ) \ 77—75 qui est compris entre la plus
grande et la plus petite valeur que prend -rrri' Si l'on désigne cette valeur de x intermédiaire par Xo-hOh^O ayant une valeur comprise entre o et + i , on parviendra à la formule suivante, dont nous ferons de nombreuses applications :
F (:Co+ h) ~ F(x,)r{x,^Bh)
Si Ton avait supposé y(j:) constamment négatif, les inégalités n'auraient fait que changer de sens, et n'en auraient pas moins conduit à cette même formule. Il faudra bien se rappeler, dans les applications de cette formule , qu'elle suppose que f'{x) soit constamment de même
signe entre Xq et a'o -h A, et que le rapport 777— r passe par
CALCUL DES DBAIViftS ST OK9 DIFFÉmBHTl ELLES , ETC. 253
toutes les valeurs comprises entre sa plus grande et sa plus petite, quand x passe par toutes les valeurs comprises entre JTo etXo-+-A.
188. Nous allons déduire de Téquation (i) quelques propositions qui nous seront fort utiles par la suite.
Si Ton avait pour une valeur particulière Xo de la variable , F (xo) = o , /(xo) = o , la formule (i) deviendrait, en posant d/i = A| , h^ étant moindre que h ,
Si Ton avait, en outre, F' (xo) = o ,/' (xo) = o, on aurait semblablement , en représentant par F'' (x), /" (x) les dérivées de F' (x) , /' (x) ou les secondes dérivées de
A, étant moindre que Ai , et en supposant que -^tt \ passe
par toutes les valeurs entre sa plus grande et sa plus petite; et, par suite,
Si Ton avait F'' (x©) = o elf" (x©) = o, on obtiendrait une formule semblable où entreraient les dérivées de F''(x) et/''{x) ou les troisièmes dérivées de F(x), /(x). En continuât ainsi, et désignant, en général, par 9'"(x) la fonction qu'on obtient en différentiant successivement m fois la fonction quelconque (p (x) , on verra que si Ton a les conditions
r(jr.) = o, F'(x.)=:o,..., F«-'(xo)=o, .. /(-^.J^^o, /'(.r,) = o,..., /«-'(.r,):=o,
254 LIVEK II.
et que les rapports des dérivées de même ordre, jusqu'à Tordre n inclusivement, passent par toutes les valeurs entre leur plus grande et leur plus petite, ce qui aura lieu s'ils sont continus , on aura
0 désignant une quantité positive moindre que Tunité.
Si toutes les conditiolis précédentes étaient satisfaites , excepté F (x^) = o, on aurait
.^. F {x.+ h)^F jx,) T-{xo+ Bh)
189. Comme application de cette dernière formule, supposons que Ton ait
et que la fonction F (x) ait toutes ses dérivées continues jusqu'à F"(a:) inclusivement, entre x^ et Xa-^h : les conditions f(xo) = o, /' (xq) = o,. . . , /"~* (x^) = o seront évidemment satisfaites; et, en supposant toujours que Ton ait
l'équation (3) devient
F(j:o4-A)-F(a:,)^F"(xo+eyfe)^
d'où
On voit que si l'accroissement h de x tendait vers zéro, et que F" (Tq) fût fini, l'accroissement de F (a:), pour la valeur particulière x^ , serait infiniment petit de l'ordre n 5 celui de x étant du premier. • •
CALCUL USS DiniVI^ES KT DM DlFriAEHTISLLSS , BTC. aS5
Si Ton a , en outre, F (Xo) = o, la formule précédente devient
(5) F(*.4-A) = ^F-(x,4-eA).
Si Xo est zéro , cette équation se cliange en la suivante :
et, changeant Tindéterminée A en x ,
en admettant les conditions
F(o) = o, F'(o) = o,..., F"-'(o) = o. On peut remarquer qu'on aurait semblablement
et que par conséquent, dans ce cas, F (x) est infiniment petit par rapport à F' {x) .
Si l'on n'avait pas F (xo) = o , on obtiendrait , au lieu de l'équation (6),
(7) FW-F(o)±= --^F-(Ox).
190. Nous déduirons de ce qui précède un corollaire très-simple , et qui nous servira par la suite. Il consiste
en ce que si — ^ tend vers zéro en même temps que x ,
et que F (x) , F' (x) , . . . , F" (x) soient continues entre o et X, la fraction —^ pourra se mettre sous la forme
— ^ — ^. Fji effet , 41 résulte d'abord de l'hypothèse, que
a56 LiVRT. 11.
Ton doit avoir
car sans cela — ^ serait infini, pour j:=: o. On peut donc appliquer ici la formule (6) , et l'on voit, par conséquent, que si — ~-, devient nul pour d: = o , on aura
191 . L'équation (4) , dans laquelle on suppose n = i , devient, en remplaçant par x la quantité arbitraire Xq ,
(8) F (a? -f- A ) — F {^) = ^F'(a; -h Bh).
Elle conduit immédiatement à une conséquence déjà obtenue précédemment, savoir : qu^ïlnjr a quune expression indépendante dex^ dont la dérivée par rapport à ac soit nulle quel que soit x.
En effet , soit F (x) une fonction telle , que pour toute valeur de x on ait F' (x) = o 5 l'équation désignée montre que , quels que soient x eix -h h^ on aura
F(x) — F(ar-+-/i) = o,
puisque F'(x-f-6//) est nul par hypothèse. Donc F (x) = F (x -f- A) , et par conséquent la fonction F (x) a toujours la même valeur, quelle que soit la valeur de la variable ; elle est donc constante relativement à x , ou , en d'autres termes , elle ne dépend pas de x.
D'où résulte, comme nous l'avons déjà dît, que deux: fonctions qui ont la même dèriv^ée par rapport à une même variable, ne peuv^ent différer que par une constante, c'est-à-dire par un quantité indépendante de cette variable. En effet, la dérivée de la différence de ces deux fonctions, étant la différence de leurs dérivées, est nulle
(1 elle-même , d'après l'hypothèse 5 donc cette différence est une constante , comme il fallait le démontrer.
192. Nous terminerons par cette proposition très-importante , que si F (a:, j) est égal à zéro quel que soit x, quand on donne à y une certaine "valeur particulière a, toutes les dérii^ées deF (Xjjr) par rapport à x dev^iendront aussi nulles^ quand on y fera y = a.
En effet, pour toute valeur de a: et de A, on aura> en vertu de l'équation (8) ,
(9) F(^ + h,y) - F {x,y) = AF(a:-h©A, j),
la dérivée étant prise par rapport à x.
Or les deux termes du premier membre deviennent nuls poury = a \ donc F' (a: -f- 6 A , a) = o.
Et comme a: et A sont arbitraires , on peut affirmer que .r-f-ÔA peut prendre toutes les yaleurs possibles, bien qu'on ne connaisse pas la valeur de 0; carx-f-ôA est toujours compris entre a: et x -f- A , et Ton peut faire en sorte que X et a: H- A comprennent toujours entre eux une valeur arbitraire x* et s'en rapprochent indéfiniment ; d'où il suit que a: -f- 0 A peut s'approcher indéfiniment de x', et que, par conséquent, F' (:r,a) est nul, quel que soitx.
De là on déduira semblablement que W [x^a) est nul quel que soit j:,et qu'il en est de même, en général, de F"{a:,a).
193. Il est encore utile de remarquer que si A tend vers zéro, ely vers a, le second membre de l'équation (9) sera infiniment petit par rapport à A , puisque F' (x -f- 6 A, y ) tendra vers zéro^ donc la différence infiniment petite relative à X, d'une fonction F (a:, y) qui est infiniment petite , quel que soit x, est infiniment petite par rapport à l'accroissement correspondant de x,
Différentielles et différences dun ordre quelconque de fonctions d*uuc seule "variable.
194. La différentielle dj d'une {onction y de x, élant elle-même une fonction de a:, aura aussi sa différentielle, et ce sera une quantité dont le rapport à la différentielle de X sera égal à la limite du rapport de T accroissement infiniment petit de dy à raccroissement correspondant de X. Pour plus de simplicité, on prendra pour la différentielle de x^ dans celte nouvelle différentiation, la même valeur que dans la première ; et , en général , on lui conservera toujours la même valeur pour toutes les dîfférentiations que l'on aura à effectuer; c'est ce que l'on appelle prendre ^/.r constant. Nous représenterons la différentielle de dy par ddy ou d^y^ et nous l'appellerons la différentielle seconde iey par rapport à x. De même d^y^ aura une différentielle que l'on désignera par d^y^ et qui s'appellera la différentielle troisième de y\ et ainsi de suite.
11 faut bien se garder de confondre ces indices de différentiation avec des exposants de puissance. Les puissaiw^es successives d'une différentielle dy s'écriraient de la manière suivante :
Rien n'est plus facile que d'exprimer les différentielles successives de la fonction F(j:) désignée parj^, au moyen de ses dérivées.
En effet , on a d'abord
dx — r[x)dx.
Or la différentielle de F' (^) dx sera le produit de dx par sa dérivée par rapport à x ^ laquelle est F'' (r) dx^ puis-
que dx est indépendant de x. On aura donc
cPyr=::¥"{x)dx\ On aura de même
et généralement ou
fin y
de sorte que les dérivées successives d'une fonction de x peuvent être considérées comme les rapports des différentielles de même ordre de cette fonction aux puissances du même degré de dx.
On voit par là qu'une différentielle d'un ordre n quelconque est en général un infiniment petit de Tordre n , dx étant pris pour le premier ordre; et que la détermination des dérivées successives d'une fonction ne diffère pas de celle de ses différentielles.
195. Les différentielles successives d'une fonction ont avec les différences de cette fonction des rapports qu'il est essentiel de connaître.
La différence Aj de la fonction j^ étant elle-même une fonction de a:, a aussi une différence 5 il en est de même de celle-ci, et ainsi de suite indéfiniment. Pour former ces différences successives de la fonction y^ on suppose que l'on donne constamment à x le même accroissement A a:, et on les désigne de la manière suivante :
Les puissances de Aj seraient désignées comme il suit :
Ajr, AjS Aj%. ., Ar».
26o LIVRE II.
Or la proposition que nous allons démontrer consiste en
ce que Ton a généralement, lim. — ^ = -~^- En effet, on a d'abord
Ax
(ù devenant nul quel que soit .r , quand on fait A j: = o. Prenons maintenant les accroissements que subiront ces deux membres lorsque l'on augmentera encore x de Ax,
et divisons-les par Ao: ; le premier donnera — -> Quant
au second, il suffira de prendre sa dérivée par rapport à X et d'y ajouter une quantité qui soit infiniment petite en même temps que A jr. Mais w devenant nul avec A x, quel que soit x^ sa dérivée deviendra nulle en même temps, et par conséquent le second membre difière de F'^{x) d'une quantité qui devient nulle avec Ax. En la désignant par &)i , nous aurons
en prenant encore les accroissements des deux membres de cette identité, relatifs à un nouvel accroissement A a:, et les divisant par A.r, on obtiendrait semblablement
et généralement
6)„i devenant nul avec Ax.
On a donc , en passant aux limites ,
comme nous F avions annoncé.
Il suit de là que si l'on fait tendre Aj: vers zéro, en
A** t* prenant dx = Ax, le rapport -rf^ aura pour limite l'unité, et la différentielle de V ordre n d'une fonction quelconque de x pourra être prise pour la différence du même ordre de cette fonction^ en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à cette différence.
Cette proposition est très-importante, en ce quelle permet de substituer les différentielles d'ordre quelconque aux différences infiniment petites de même ordre, dont l'expression serait beaucoup plus compliquée , et il n'en peut résulter aucune erreur dans les calculs où l'on ne considère que les limites des rapports ou des sommes.
Remarque. — Lorsque plusieurs fonctions, que l'on a à considérer dans une même question ,* dépendent toutes d'une seule variable a:, les différences premières infiniment petites sont toutes déterminées par Aa:, ou par une quelconque d'entre elles 5 ainsi Ajy" désignera partout le même accroissement, soit qu'on le détermine d'après Az ou d'après la valeur correspondante de Aa:, en supposant toujours que la valeur de x soit la même. Mais le ùk^y n'aura pas la même valeur quand il exprimera la différence de Y P^r rapport à x ou par rapport à z. En effet , dans le premier cas il faut considérer les trois valeurs de y correspondantes k x^ x-\- Aj:, x -h 2 Aa:^ prendre la différence de la deuxième à la première , et de la troisième à la deuxième , puis la différence de ces deux différences. Dans le second cas, il faudra considérer les trois
valeurs dej qui correspondent k z , z-f- Az, z -h i^z ^ et agir de la même manière sur elles. Or les deux premières sont les mêmes dans les deux cas 5 mais la troisième est différente parce qu'à x -h 2 A or ne correspond pas 2 -4^ âAz : il s'en faut d'une quantité infiniment petite par rapport à Az , et que l'on n'a pas le droit de négliger par rapport aux différences du second ordre.
Il est donc nécessaire de distinguer avec soin les différences désignées par A*j^, dans, les questions où l'on ne prendrait pas toujours la même variable indépendante. Il en serait de même des ordres supérieurs.
196. Si l'on considère en particulier les fonctions jt", logx, «', sinj:, cosjc, on trouvera
d'^af' =z m(m — i). . .{m — /? -H i)^'"~"r/x",
da:'^ d^loQX =dbi.2.3...(/2 — l)log6f — ^,
d"a' =z a' l'» adaf" ,
rf"sin ^ = sin ( ^ -h /i - j daf" , d" cosx = ces 1 j: H- /? - J r/jc" ;
et il est bon de se rappeler que le second membre donne la valeur de la différence infiniment petite de l'ordre' n , à une quantité près infiniment petite par rapport à celte diflérence.
